О электро-гидравлической аналогии

[EUgeneUS]

Под "электро-гидравлической аналогией" ("электро-гидродинамической аналогией") понимается сопоставление электрических и гидравлических величин.
Впервые с неё столкнулся в детстве при прочтении книги Айсберга "Радио - это просто!?". Но далее как-то особо не сталкивался.
Видимо, её популярность снизилась почти до нуля.
Однако, в недавней теме школьник её упомянул, а значит "жив ещё Курилка журналист"

Поэтому собрался разобрать:
1. Что лежит в её основе.
2. Что она из себя представляет (какие электрические величины и устройства соответствуют гидравлическим величинам и приборам)
3. И, что на мой взгляд наиболее важно, ограничения этой аналогии - имеющиеся различия, и условия при которых она просто перестаёт работать.

Вопросы вида: "нужно ли по неё вообще рассказывать, хоть кому-то?" - особо обсуждать не собираюсь, поэтому не стал заводить тему в вновь созданном разделе про вопросы преподавания. Если у кого будет желание их обсудить - то почему бы и нет?

Писать буду не спешно, в нескольких постах.

-- добавлено через 53 минуты --

I. Уравнение непрерывности - основание для аналогии.

1. Электромагнетизм.
В общем виде уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла и имеет вид: $\nabla \mathbf{j} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = 0$
Если рассматривается квазистационарный случай, когда можно пренебречь $\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$, то уравнение непрерывности записывается, как $\nabla \mathbf{j} = 0$
Квазистационарный случай описывается моделью с сосредоточенными параметрами, для которой справедливы правила Кирхгофа.

2. Гидродинамика.
В общем виде уравнение непрерывности переписывать не буду. А сразу скажу, что в случае несжимаемой жидкости (плотность жидкости $\rho$ постоянно и не отчего не зависит), уравнение непрерывности имеет вид $\nabla \mathbf{v} = 0$, или при умножении на $\rho$: $\nabla \rho \mathbf{v} = \nabla j_m = 0$
Где $j_m$ - (массовая) плотность потока жидкости.

Сразу вывод: аналогия может применяться не к электромагнитным явлениям вообще, а только для модели с сосредоточенными параметрами, для которой справедливы правила Кирхгофа.

И сразу появляются две условности в этой аналогии:

1. Что является гидравлическим аналогом электрического заряда?
Вообще говоря, можем произвольно выбрать:
а) или объем жидкости
б) или массу жидкости
Если выбираем в качестве аналога электрического заряда массу (мы так и поступим), то можно вспомнить, что в природе есть разные жидкости с разной плотностью. А никаких "разных электрических жидкостей" в природе нет.

2. И масса и объем жидкости - величины не отрицательные. А электрический заряд может быть положительным и отрицательным.

Пока эти условности нам не мешают, не не будем про них забывать.

-- добавлено через 6 минут --

Можно сформулировать следствие уравнения непрерывности $\nabla \mathbf{j} = 0$ в более понятном для школьников, интегрированном виде:

Если течение происходит в "каналах", то поток за единицу времени через любое сечение "канала" будет одинаковым.

Для электричества: поток за единицу времени - это и есть электричеcкий ток $I$. В системе СИ измеряется в амперах (то есть в кулонах в секунду).
Для гидравлики: мы выше приняли за аналог электрического заряда масса, тогда поток за единицу времени (обозначим $I_m$) - это массовый расход. В системе СИ измеряется в килограммах в секунду.

[пианист]

Встречал в интернете статью, точнее, рукопись Г.В.Коренева на эту тему. Но что-то не смог сейчас найти :(

upd Нашел.

[EUgeneUS]

II. Давление\потенциал, разность давлений \ напряжение.

Задумаемся, какие силы действуют на маленький заряд и на маленький элемент жидкоcти.

1. Электричество
Сила $d\mathbf{F}$, действующая на маленький пробный заряд $dq$:
$d\mathbf{F} = d q \mathbf{E} = - dq \nabla \varphi$, где $\varphi$ - электрический потенциал.

2. Гидравлика
Сила $d\mathbf{F}$, действующая на маленький элемент жидкости с массой $dm$ (без учета силы тяжести):
$d\mathbf{F} = - dV \nabla p = - \frac{dm}{\rho} \nabla p$,

где $p$ - давление, а $\rho$ - плотность жидкости.

Видим аналогию: электрический потенциал - давление.
Сразу опять условность: давление определено точно в каждой точке, а электрический потенциал с точностью до аддитивной константы.

Но если перейти к напряжению, как разности потенциалов в двух точках, то аналогом напряжения станет разность давлений в двух точках, и аддитивная константа в электрическом потенциале перестает играть роль.

[eslitak]

EUgeneUS в сообщении #1728019 писал(а):

2. И масса и объем жидкости - величины не отрицательные. А электрический заряд может быть положительным и отрицательным.

ИМХО, в данном случае это вообще не критично. Тем более что "стандартизирована" договорённость о том, что ток всегда течёт от плюса к минусу, хотя реально электроны движутся наоборот. Другое дело, что абсолютное значение давления, в отличие от его аналога - электрического потенциала, не может быть ниже нулевого. Но и это особо не роялит, поскольку на практике важна разность давлений (в гидравлике) и разность потенциалов - напряжение в электрике.

[EUgeneUS]

III. Идеальные источники и идеальные насосы.

1. По определению, идеальный источник напряжения - источник у которого напряжение между выводами не зависит от протекающего через него тока.
Очевидная аналогия: идеальный насос, у которого разница давлений на входе и выходе не зависит от расхода через него.

2. По определению, идеальный источник тока- источник, ток через который не зависит от напряжения между выводами.
Очевидная аналогия: идеальный насос, у которого расход не зависит от разницы давлений на входе и выходе.

[Утундрий]

EUgeneUS в сообщении #1728019 писал(а):

аналогия может применяться не к электромагнитным явлениям вообще, а только для модели с сосредоточенными параметрами, для которой справедливы правила Кирхгофа.

И только в статике.

[EUgeneUS]

IV. Электрическое сопротивление \ вязкое трение.

(Активное) электрическое сопротивление приводит к тому, что энергия из электрической системы уносится и переводится в тепло.
Очевидным аналогом является вязкое трение, где также энергия уносится из гидравлической системы и уносится в тепло.
Аналогом резистора тут будет пропускание жидкости через тонкий капилляр или через пористый материал.
Понятно, что и трубы будут иметь не нулевое, хоть и малое сопротивление. Полная аналогия с проводниками.

-- добавлено через 44 секунды --

Утундрий в сообщении #1728029 писал(а):

И только в статике.

Нет, но об этом ниже. Хотя там аналогия начинает ломаться, пока совсем не сломается.

-- добавлено через 24 минуты --

V. Переменный ток. Емкости: электрическая и для жижи

Коль скоро мы представили идеальные насосы в качестве аналогов идеальных источников, то ничего не мешает представить насосы, которые умеют качать в разные стороны.
Например, насос у которого разница давлений изменяется по гармоническому закону. И вот потёк переменный ток.

Айсберг в качестве аналога конденсатора предлагает бак, который разделен на две части непроницаемой упругой мембраной.
ИМХО, более прозрачная аналогия - это цилиндрический бак, разделенный на две части невесомым поршнем, который закреплен к пружине.
Для такой конструкции, например, можно записать в явном виде энергию, запасенную в "конденсаторе", как аналог $E_C = \frac{CU^2}{2}$.

Аналогия пока работает, но отметим, что такое понятие электростатики, как уединенная ёмкость, в гидравлической аналогии отсутствует.

-- добавлено через 9 минут --

VI. "Индуктивность" змеевика. Аналогия начинает ломаться.

В качестве аналога индуктивности можно предложить инерционные свойства жижи в каком-нибудь большой объеме, например, в змеевике
Но так как в гидравлической аналогии отсутствует взаимодействие вне труб, эта аналогия позволяет только качественные описания явлений.
Например, можно сгородить аналог LC-контура.
При попытках количественного описания начинают вылезать серьезные нестыковки:

1. Индуктивность катушки тем больше, чем тоньше проводники.
В аналогии энергия, запасенная в змеевике $E_z = \frac{mv^2}{2} = \frac{\rho V v^2}{2}$
Легко видеть, что если объем $V$ вытянуть в более тонкую трубу, то скорость $v$ возрастет (при том же расходе), а значит и запасенная энергия увеличится. Вроде пока работает аналогия.

2. Индуктивность катушки пропорциональная квадрату количества витков. А "индуктивность" змеевика будет расти пропорционально количеству витков. Аналогия начинает ломаться.

3. Индуктивность катушки зависит от геометрии укладки проводника. А "индуктивность" змеевика зависит только от сечения и длины. Аналогия продолжает ломаться.

-- добавлено через 7 минут --

V. Трансфоматор. Аналогия совсем сломалась.

В силу:

EUgeneUS в сообщении #1728031 писал(а):

в гидравлической аналогии отсутствует взаимодействие вне труб

в гидравлической аналогии полностью отсутствует аналог явления взаимной индукции.

В теории электрических цепей взаимную индукции описывают взаимной индуктивностью или коэффициентом связи, вводят соответствующие члены в уравнения для второго правила Кирхгофа, и это позволяет ещё оставаться в модели с сосредоточенными параметрами.

А гидравлическая аналогия на этом ломается полностью и окончательно. Дать аналог трансформатора она не в состоянии.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1728019 писал(а):

Под "электро-гидравлической аналогией" ("электро-гидродинамической аналогией") понимается сопоставление электрических и гидравлических величин.

На эту тему есть вполне серьезная наука "в обратную сторону" - идея о гидродинамическом транспорте в вязком газе из электронов проводимости, формирующемся за счёт частых межчастичных столкновений.

[EUgeneUS]

И наконец:

EUgeneUS в сообщении #1728019 писал(а):

Если выбираем в качестве аналога электрического заряда массу (мы так и поступим),

При таком выборе в попытках вывести в гидравлической аналогии аналоги формул для электричества плотность жижи вылезает в самых неожиданных и неудобных местах.
Аналогию это не ломает, так как плотность жижи - константа. Но, видимо, более удобно в качестве аналога заряда выбирать объем жижи, а не массу.

-- добавлено через 48 минут --

EUgeneUS в сообщении #1728031 писал(а):

энергия, запасенная в змеевике $E_z = \frac{mv^2}{2} = \frac{\rho V v^2}{2}$

Для иллюстрации покажу, как выводится гидравлический аналог индуктивности.

1. Энергия в катушке: $E_L = L \frac{I^2}{2}$
2. Аналогом электрического тока $I$ является массовый расход $I_m$ (аналог заряда всё также - масса).
3. Нужно привести выражение $E_z = \frac{mv^2}{2} = \frac{\rho V v^2}{2}$ (1) для энергии, запасенной в змеевике, к виду $E_z = L_z \frac{I_m^2}{2}$, где $L_z$ и будет гидравлическим аналогом индуктивности.

$I_m = \rho s v $, где $s$ - сечение трубки змеевика, $v$ - скорость жижи в змеевике, $\rho$ - плотность жижи.

$ v = \frac{I_m}{\rho s}$ и подставляем в (1):

$E_z = \frac{\rho V v^2}{2} = \frac{l}{\rho s} \frac{I_m^2}{2}$, где $l$ - длина змеевика.
И окончательно гидравлический аналог индуктивности: $L_z = \frac{l}{\rho s} $

-- добавлено через 2 минуты --

пианист в сообщении #1728024 писал(а):

upd Нашел

Спасибо! Забавно.
Но там, конечно, гораздо более глубокая аналогия, чем иллюстрация для школьиков средних классов.

amon в сообщении #1728037 писал(а):

На эту тему есть вполне серьезная наука "в обратную сторону"

Уравнения гидродинамики вообще много где применяют.
Довольно давно слышал, что с успехом применяли (при некоторой доработке напильником) к моделированию городского транспортного траффика.

[Евгений Машеров]

EUgeneUS в сообщении #1728019 писал(а):

Сразу вывод: аналогия может применяться не к электромагнитным явлениям вообще, а только для модели с сосредоточенными параметрами, для которой справедливы правила Кирхгофа.

https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-filtratsii-iz-orositelnogo-kanala-metodom-elektrogidrodinamicheskih-analogiy/viewer

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1728019 писал(а):

В общем виде уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла и имеет вид: $\nabla \mathbf{j} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = 0$

$+\partial\rho/\partial t$ еще.

EUgeneUS в сообщении #1728025 писал(а):

Видим аналогию: электрический потенциал - давление.
Сразу опять условность: давление определено точно в каждой точке, а электрический потенциал с точностью до аддитивной константы.

К давлению точно так же можно везде прибавить константу. По крайней мере, пока нет уравнения состояния.

EUgeneUS в сообщении #1728038 писал(а):

Для иллюстрации покажу, как выводится гидравлический аналог индуктивности.

А для конденсатора есть подобный аналог?

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1728082 писал(а):

$+\partial\rho/\partial t$ еще.

Да, конечно. Спасибо.

-- добавлено через 46 секунд --

DimaM в сообщении #1728082 писал(а):

А для конденсатора есть подобный аналог?

С одной стороны писал выше:

EUgeneUS в сообщении #1728031 писал(а):

Айсберг в качестве аналога конденсатора предлагает бак, который разделен на две части непроницаемой упругой мембраной.
ИМХО, более прозрачная аналогия - это цилиндрический бак, разделенный на две части невесомым поршнем, который закреплен к пружине.
Для такой конструкции, например, можно записать в явном виде энергию, запасенную в "конденсаторе", как аналог $E_C = \frac{CU^2}{2}$.

С другой стороны, нужно разобрать подробнее.

-- добавлено через 4 минуты --

Энергия запасенная в таком аналоге конденсатора:

1. $E_C_A = C_A \frac{U_A}{2}= k \frac{\Delta x}{2}$
Индексами $A$ обозначены гидравлические аналоги. $k$ - жёсткость пружины. $U_A = \Delta p$ - аналогом напряжения является разница давлений.

2. Воспользуемся $F = k \Delta x = S \Delta p$
$E_C_A = C_A \frac{U_A}{2}= k \frac{\Delta x}{2} = \frac{S^2}{k} \frac{(\Delta p)^2}{2}$

Откуда: $C_A = \frac{S^2}{k}$

-- добавлено через 3 минуты --

Дальше интереснее.

Запишем аналог формулы для заряда в конденсаторе:

$ \Delta Q_A = C_A U_A = \frac{S^2}{k} \Delta p = \frac{S^2}{k} \frac{k \Delta x}{S} = S \Delta x = \Delta V$

Таком образом, верным аналогом для заряда является объем жидкости, а не масса, как был принято ранее.

-- добавлено через 6 минут --

В этом случае ($Q_A = V$):

1. Аналогом электрического тока будет не массовый расход $I_m$ в килограммах в секунду, а объемный $I_A = I_V = \frac{I_m}{\rho}$ в кубометрах в секунду.
2. Аналогия между электрическим потенциалом и давлением будет более прозрачной - не будет путаться под руками плотность жижи.
3. Аналог индуктивности запишется как $L_A = \frac{\rho l}{s}$, что тоже приятно: коль скоро мы связываем аналог индуктивности с инерцией жижи, то логично иметь плотность жижи в числителе, а не в знаменателе.
4. Аналог закона Джоуля-Ленца даст правильную размерность в ваттах: $P = I_A U_A = I_V \Delta p = \frac{[m^3]}{[s]} \frac{[N]}{[m^2]}= \frac{[N][m]}{[s]} = [W]$

[DimaM]

EUgeneUS
А я бы аналогом конденсатора взял двойную вертикальную трубу, заполненную жидкостью. Тогда при площади $S$, плотности $\rho$ и разнице уровней $h$ потенциальная энергия

$$E=\frac{\rho gSh^2}{2}.$$

Аналогом напряжения получается $[U]=h$, аналогом емкости $[C]=\rho gS$, заряда $[q]=[C][U]=\rho gSh$.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1728091 писал(а):

Аналогом напряжения получается $[U]=h$, аналогом емкости $[C]=\rho gS$, заряда $[q]=[C][U]=\rho gSh$.

Не очень понятно,
а) как эти аналоги напряжения и заряда прикрутить к аналогу сопротивления и индуктивности?
б) что будет аналогами идеальных источников, если аналог напряжения $[U]=h$?

[DimaM]

EUgeneUS
Все же гидродинамика и электродинамика - разные отрасли. Так что полной аналогии ждать не следует (вы, собственно, выше то же самое пишете).

EUgeneUS в сообщении #1728093 писал(а):

что будет аналогами идеальных источников, если аналог напряжения $[U]=h$?

Плотина?