Топология вещественной прямой (определение)

[TurboBeaver]

Подскажите, пожалуйста, как понимать определение из книги "Элементарная топология" (Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов). В книге даётся такое определение:



Ранее в книге говорилось о том, что совокупность и семейство - заменители слова "множество".

Первый вопрос такой: в определении говорится о открытых интервалах, а в примечании в скобках упоминаются просто интервалы. Открытый интервал и интервал - это одно и то же? Если это одно и то же, зачем авторы добавляют прилагательное "открытый"?

И второй вопрос относительно сути самого определения. Насколько я понимаю определение, словосочетание "семейств открытых интервалов" говорит о том, что рассматриваются всевозможные семейства, то бишь множества, состоящие из открытых интервалов. Получается, что открытые интервалы - элементы таких семейств (конечных или бесконечных). Примеры таких семейств:

$ \begin{aligned} & A=\{(-3;4), (2;10), (10;25)\}\\ & B=\{(1;9)\}\\ & C=\left\{ (n,3n+1), n\in{N}\right\}\\ & \ldots \end{aligned} $

Определение говорит о объединениях этих семейств, т.е. получается, что упомянутые выше семейства объединяются, образуя новые множества:

$ \begin{aligned} & \alpha=A\cup{B}\\ & \beta=A\cup{B}\cup{C}\\ & \ldots \end{aligned} $

А множество $\Omega$ - это совокупность, состоящая из таких объединений, т.е. $\Omega=\{\alpha, \beta,\ldots \}$.

Однако тут возникает вопрос - зачем нам вообще множества $\alpha$, $\beta$ и так далее, если они будут состоять из тех же интервалов, что и множества $A$, $B$ и т.д.? Вообще, при формальной трактовке определения остаётся ощущение какой-то странности. Или эта трактовка верна?

[dgwuqtj]

TurboBeaver в сообщении #1727329 писал(а):

упомянутые выше семейства объединяются, образуя новые множества:

Нет, берётся какое-то одно семейство и объединяются его элементы. В случае семейства $A$ получится множество $(- 3, 4) \cup (2, 10) \cup (10, 15)$. Вот это множество объявляется элементом $\Omega$, как и вообще все множества, которые можно так получить. Так что $\Omega$ состоит из подмножеств $\mathbb R$.

[Geen]

TurboBeaver в сообщении #1727329 писал(а):

Открытый интервал и интервал - это одно и то же?

Вообще говоря, интервал определяется упорядочиванием (если на множестве задано какое-либо упорядочивание, то можно определить и интервал), а открытость - топологией. И в общем случае интервал не обязан быть открытым множеством.

TurboBeaver в сообщении #1727329 писал(а):

И второй вопрос относительно сути самого определения

Выше уже ответили, но попробую добавить.
В данном случае надо "поэлементно" читать с конца: интервал -> семейство интервалов -> объединение семейства интервалов (выше написали что именно это такое) -> множество таких объединений.

[Anton_Peplov]

TurboBeaver в сообщении #1727329 писал(а):

Первый вопрос такой: в определении говорится о открытых интервалах, а в примечании в скобках упоминаются просто интервалы. Открытый интервал и интервал - это одно и то же?

Да. Традиционно интервалами называются множества вида $(a, b)$, где $a, b \in \mathbb R$ и круглые скобки означают, что концы не включены. Такие множества открыты в стандартной топологии $\mathbb R$. Словосочетание "открытые интервалы" - это "масло масляное".

TurboBeaver в сообщении #1727329 писал(а):

Если это одно и то же, зачем авторы добавляют прилагательное "открытый"?

А кто ж их знает. Возможно, так они хотели подчеркнуть, что интервалы открыты. Либо оговорились (учебников без ляпов не бывает).

TurboBeaver в сообщении #1727329 писал(а):

И второй вопрос относительно сути самого определения. Насколько я понимаю определение, словосочетание "семейств открытых интервалов" говорит о том, что рассматриваются всевозможные семейства, то бишь множества, состоящие из открытых интервалов.

Да, определение авторы сформулировали не самым понятным образом.

На самом деле элементами $\Omega$ являются те и только те подмножества $\mathbb R$, которые можно получить объединением каких-нибудь интервалов. Например, $(1, 2) \in \Omega$, $(3,4) \cup (5, 6) \in \Omega$, $(1, +\infty) \in \Omega$, $\mathbb R \in \Omega$, $\varnothing = (a, a) \in \Omega$.

-- добавлено через 1 минуту --

Geen в сообщении #1727344 писал(а):

Вообще говоря, интервал определяется упорядочиванием (если на множестве задано какое-либо упорядочивание, то можно определить и интервал), а открытость - топологией. И в общем случае интервал не обязан быть открытым множеством.

В общем случае не обязан, а на числовой прямой с естественным порядком и стандартной топологией - обязан. Не пугайте человека общими случаями, дайте ему с числовой прямой разобраться.

[Geen]

Anton_Peplov в сообщении #1727346 писал(а):

а на числовой прямой с естественным порядком и стандартной топологией - обязан

Верно, но вот только топологию мы как-раз и вводим. Пока не ввели, говорим "интервал", а как только ввели (а мы её и вводим пользуясь интервалами), то можем теперь добавлять "открытый".
Собственно, "стандартность" в том и состоит, что бы сделать все интервалы открытыми.

[dgwuqtj]

Anton_Peplov в сообщении #1727346 писал(а):

Например, $(1, 2) \in \Omega$, $(3,4) \cup (5, 6) \in \Omega$, $(1, +\infty) \in \Omega$, $\mathbb R \in \Omega$, $\varnothing = (a, a) \in \Omega$.

Чтобы не думать про пустой интервал (лично я привык к тому, что интервалы непусты), можно заметить, что $\varnothing$ — это объединение пустого набора интервалов, и потому оно в $\Omega$.

[Geen]

dgwuqtj в сообщении #1727363 писал(а):

лично я привык к тому, что интервалы непусты

Но ведь было бы удобно, если бы пересечение любых двух интервалов было интервалом?

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1727364 писал(а):

Но ведь было бы удобно, если бы пересечение любых двух интервалов было интервалом?

Пожалуй. А где-то может быть удобно, чтобы интервал был связным.

[Mikhail_K]

dgwuqtj в сообщении #1727370 писал(а):

А где-то может быть удобно, чтобы интервал был связным.

Пустое множество является связным, так что с этим всё нормально.

[Someone]

TurboBeaver в сообщении #1727329 писал(а):

Ранее в книге говорилось о том, что совокупность и семейство - заменители слова "множество".

Первый вопрос такой: в определении говорится о открытых интервалах, а в примечании в скобках упоминаются просто интервалы. Открытый интервал и интервал - это одно и то же? Если это одно и то же, зачем авторы добавляют прилагательное "открытый"?

Я встречал два варианта терминологии, касающейся интервалов в упорядоченных множествах (например, в множестве действительных чисел)

В первом варианте интервалом называется любое множество вида $(a,b)$, $(a,b]$, $[a,b)$ или $[a,b]$. В таком случае $(a,b)$ называется открытым интервалом, а $[a,b]$ — замкнутым интервалом.

Во втором варианте, к которому я привык ещё со школьных времён, $(a,b)$ называется интервалом, $[a,b]$ — отрезком, а $[a,b)$ и $(a,b]$ — полуинтервалами.

Какой вариант используется в книге, на которую Вы ссылаетесь, я не в курсе.

[TurboBeaver]

Огромное спасибо форумчанам за прояснение ситуации!

К слову, я не задумывался над тем, что интервал $(a;a)$ является пустым множеством, но это логично, хоть отдельно вопрос пустого множества в книге не оговаривался. Насчёт упорядоченности интервалов - я пока не лезу в особые дебри, хотелось бы разобраться с базой топологии (а впоследствии и функционального анализа) которой не было на педагогическом физмате :(

[Geen]

TurboBeaver в сообщении #1727459 писал(а):

Насчёт упорядоченности интервалов - я пока не лезу в особые дебри

Так не интервалы упорядочены, упорядочено само множество. То есть на нём задано отношение $\lt$ (с тремя очевидными свойствами). Например, множество натуральных или действительных чисел с обычным пониманием больше/меньше. Или можно на натуральных числах ввести порядок "по делимости" - если число $a$ делится на $b$ и не равно ему, то $b\lt a$. При этом правда окажется, что например $2$ и $7$ не сравнимы, но это не помешает задать интервал... ну просто он пустой будет...
А вот почему на комплексных числах нет (разумного) порядка - вот тут, как-раз, надо разобраться с топологией.

[Anton_Peplov]

TurboBeaver в сообщении #1727459 писал(а):

я пока не лезу в особые дебри, хотелось бы разобраться с базой топологии (а впоследствии и функционального анализа) которой не было на педагогическом физмате :(

Для этих целей учебник Виро и К., может быть, даже избыточен (хотя знание основ общей топологии еще никому не вредило). Хороший подготовительный к функциональному анализу учебник - это Колмогоров. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Там с бору по сосенке собраны азы теории множеств (и вот там рассказывается про упорядоченность), теории метрических пространств, общей топологии, теории меры и всякого другого, что составляет язык функционального анализа. Общей топологии там посвящена одна глава, которая идет после главы о метрических пространствах и обобщает метрические понятия до топологических. Полезно ли знать об общей топологии больше, чем написано у Колмогорова и Фомина? Несомненно. Необходимо ли это для функана? Я не спец по функану, но, пожалуй, острой необходимости нет.

Вообще, с общей топологией важно вовремя остановиться. Это очень красивая наука, но за каким-то пределом она перестает быть общематематическим языком и становится вещью в себе. Пожалуй, этот предел как раз очерчен Виро и К, плюс несколько дополнительных глав из других книг про размерности, локальный гомеоморфизм многообразия и т.д. То есть главное не лезть потом в пудового Энгелькинга и двухпудового Куратовского. А то и в собственные изыскания. Я в свое время так увлекся, что даже сформулировал несколько собственных понятий (скорее всего, никому, кроме меня, не интересных) и начал было доказывать о них теоремы. Но понял, что занимаюсь игрой в бисер.

(Оффтоп)

О, педагогический физмат - это особая среда. А специальность какая, учитель математики?