Расширения полей степени 2

[Dedekind]

Докажите, что любое расширение степени 2 является полем разложения (splitting field).

Правильны ли такие рассуждения?

Пусть $K$ - расширение степени 2 над полем $F$ и пусть $a\in K-F$. Тогда $\{1, a, a^2\}$ - линейно зависимый набор, а $\{1, a\}$ - линейно независимый. Следовательно, существуют $c_0, c_1, c_2 \in F$, где как минимум $c_2\ne0$, такие, что $c_2a^2 + c_1a + c_0 = 0$. Значит, $a$ является корнем некоторого полинома второй степени. Другой его корень тогда также будет в $K$.
С другой стороны, т.к. $\{1, a\}$ - линейно независимый набор длины 2, то любой элемент из $K$ является их линейной комбинацией, т.е. $K = F(a)$, чем и доказывается минимальность $K$. Следовательно, $K$ - поле разложения.

[dgwuqtj]

В целом верно, но лучше явно доказать вот это утверждение:

Dedekind в сообщении #1726656 писал(а):

Другой его корень тогда также будет в $K$.

[Dedekind]

dgwuqtj
Спасибо! Ну, тут понятно, поделить квадратный полином на $x-a$ и увидеть, что второй корень - комбинация элементов из $K$.