Об одном линейном соотношении между числами π и φ

[Shizuka404]

Приветствую участников форума. На стыке изучения золотого сечения и числа пи обратил внимание на значение выражения $2\pi - 2\varphi + 1 \approx 4.0471$.Подскажите, встречалось ли данное соотношение ранее в геометрии (например, в свойствах вписанных фигур, связанных с золотым сечением) или в теории чисел? Буду благодарен за строгие математические наводки.

[wrest]

Shizuka404
Вряд ли это какое-то специальное число.
Зато,
$\varphi = 2\cos(\frac{\pi}{5})$

[Gagarin1968]

Shizuka404
Я не думаю, что это соотношение имеет фундаментальное значение.
Числа $\pi$ и $\varphi$ имеют разную математическую природу. Число $\pi$ является трансцендентным (оно не может быть корнем ни одного многочлена с целыми коэффициентами), в то время как золотое сечение $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ — это алгебраическое иррациональное число (корень уравнения $x^2 - x - 1 = 0$).
В теории чисел линейные комбинации трансцендентных и алгебраических чисел со случайными целыми коэффициентами (как в Вашем примере) никогда не образуют значимых констант. Кроме редчайших случаев — если за ними стоит доказанное тождество, например, тождество Эйлера $e^{i\pi} + 1 = 0$.

[Shizuka404]

Gagarin1968 в сообщении #1726598 писал(а):

Shizuka404
Я не думаю, что это соотношение имеет фундаментальное значение.
Числа $\pi$ и $\varphi$ имеют разную математическую природу. Число $\pi$ является трансцендентным (оно не может быть корнем ни одного многочлена с целыми коэффициентами), в то время как золотое сечение $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ — это алгебраическое иррациональное число (корень уравнения $x^2 - x - 1 = 0$).
В теории чисел линейные комбинации трансцендентных и алгебраических чисел со случайными целыми коэффициентами (как в Вашем примере) никогда не образуют значимых констант. Кроме редчайших случаев — если за ними стоит доказанное тождество, например, тождество Эйлера $e^{i\pi} + 1 = 0$.

wrest в сообщении #1726597 писал(а):

Shizuka404
Вряд ли это какое-то специальное число.
Зато,
$\varphi = 2\cos(\frac{\pi}{5})$

Большое спасибо за развернутое объяснение!

Различие между трансцендентной природой \pi и алгебраической природой \varphi действительно делает их линейные комбинации скорее интересными численными совпадениями, нежели фундаментальными константами, если за ними не стоит глубокое тождество вроде формулы Эйлера.

Тем не менее, подсказка с 2\cos(\frac{\pi}{5}) = \varphi отлично иллюстрирует, как эти две разные природы красиво пересекаются в тригонометрии правильного пятиугольника. Благодарю участников за эту дискуссию

[wrest]

Shizuka404
$5-\dfrac{7\pi}{22}=4,00040\dots$