Подъемная сила, индуцируемая горизонтальным дном

[reterty]

Рассмотрим длинный горизонтальный цилиндр радиуса $r$, который движется поступательно с постоянной скоростью $\vec{v}$ вдоль дна бесконечно глубокого водоема, заполненного неподвижной вязкой жидкостью с плотностью $\rho$ и динамической вязкостью $\eta$. Скорость движения цилиндра направлена перпендикулярно его оси. Расстояние по вертикали от оси цилиндра до дна равно $h$ ($h\geq r$).

В системе отсчета, связанной с цилиндром, набегающий поток вязкой жидкости будет асимметричным вследствие наличия поблизости цилиндра дна. Очевидно, что характерная скорость под цилиндром $v_{\rm bottom}$ будет несколько меньше чем скорость $v_{\rm top}$ над ним. Следовательно, в соответствии с принципом Бернулли, давление под цилиндром окажется больше чем над ним. Это приведет к появлению добавочной к Архимедовой силе, некоторой подъемной силе.

Точный расчет избыточного давления требует решения двумерного уравнения Навье-Стокса, которое сопряжено со значительными математическими трудностями. Ниже мы приведем простую «школьную» оценку добавочной подъемной силы, используя уравнение Бернулли.

Определим , прежде всего, скорости $v_{\rm bottom}$ и $v_{\rm top}$. В качестве простейшей оценки примем для них линейные аппроксимации по безразмерному параметру $x=r/h \geq 1$. Поскольку $v_{\rm bottom}(1)=0.$ и $v_{\rm bottom}(0)=v$, функция $v_{\rm bottom}(x)$ определяется однозначно:

$$ v_{\rm bottom}=v(1-x).$$

Так как $v_{\rm top}(0)=v$, то

$$ v_{\rm top}=v(1+kx).$$

Из физических соображений следует положить коэффициент $k>-1$.

Воспользовавшись уравнением Бернулли, получаем перепад давлений:

$$\Delta p =\rho (v_{\rm top}^2) - v_{\rm bottom}^2=\rho v^2 x(1+k)(2-x(1-k)).$$

Тогда подъемная сила на единицу длины цилиндра найдется как

$$F_{\rm L}=\Delta p 2r =\rho (v_{\rm top}^2) - v_{\rm bottom}^2=2\rho v^2 r x(1+k)(2-x(1-k)).$$

Как и следовало ожидать, при $ x \to 0$ имеем: $F_{\rm L}\approx 2\rho v^2 r x(1+k) \to 0$. Интересно, что функция $ F_{\rm L}(x)$ при $-1<k<0$ имеет промежуточный максимум в точке $x_{\rm max}=1(1-k)$.

Введённый выше безразмерный коэффициент $k$, характеризующий влияние близости твёрдой стенки на эффективную скорость обтекания верхней части цилиндра, в общем случае должен зависеть от числа Рейнольдса $\mathrm{Re}=\rho vr/\eta$. При малых числах Рейнольдса ($\mathrm{Re}\ll1$) течение определяется преимущественно вязкой диффузией импульса, вследствие чего стенка оказывает тормозящее воздействие на движение жидкости и коэффициент $k$ может принимать отрицательные значения. По мере увеличения $\mathrm{Re}$ возрастает роль инерционных эффектов и перераспределения линий тока вблизи цилиндра. В этом режиме влияние гидродинамического возмущения, индуцированного стенкой, приводит к ускорению потока над цилиндром, что соответствует положительным значениям $k$, Таким образом, коэффициент $k$, следует рассматривать как функцию числа Рейнольдса, причём в некоторой переходной области чисел $\mathrm{Re}$ возможна смена его знака. В рамках нашего рассмотрения конкретный вид зависимости $k(\mathrm{Re})$ не задаётся и рассматривается как феноменологический параметр модели.

Следует отметить, что в итоговом модельном выражении для дополнительной подъёмной силы коэффициент динамической вязкости $\eta$ отсутствует в явном виде. Это связано с тем, что оценка силы строилась на основе бернуллиевской разности давлений, обусловленной асимметрией характерных скоростей обтекания верхней и нижней частей цилиндра. В таком приближении подъёмная сила определяется исключительно инерционными свойствами потока, тогда как вязкость влияет на результат лишь косвенно, через формирование самого поля скоростей и, в частности, через значение феноменологического коэффициента $k$, характеризующего влияние стенки на распределение скоростей. В пределе малых чисел Рейнольдса, когда инерционные эффекты становятся несущественными, использованное бернуллиевское приближение теряет применимость и требуется рассмотрение полной вязкой гидродинамической задачи.

Прошу высказать свои критические замечания с целью обсуждения данной заметки.

[realeugene]

Экраноплан?

[reterty]

realeugene в сообщении #1725939 писал(а):

Экраноплан?

Сходство есть. Но если в случае экраноплана, подъемная аэродинамическая сила имеется изначально и лишь усиливается за счет экранного эффекта, то здесь подъемная сила напрямую генерируется стенкой.

[Null]

reterty в сообщении #1725925 писал(а):

$x=r/h \geq 1$

reterty в сообщении #1725925 писал(а):

при $ x \to 0$

Магия.

reterty в сообщении #1725925 писал(а):

В рамках нашего рассмотрения конкретный вид зависимости $k(\mathrm{Re})$ не задаётся и рассматривается как феноменологический параметр модели.

Тут сразу вопрос от чего не зависит $k$ - если он меняется от всех $\rho, \eta, r, h, v$, то формула бесполезна.

[reterty]

Null в сообщении #1725951 писал(а):

reterty в сообщении #1725925 писал(а):

$x=r/h \geq 1$

reterty в сообщении #1725925 писал(а):

при $ x \to 0$

Магия.

reterty в сообщении #1725925 писал(а):

В рамках нашего рассмотрения конкретный вид зависимости $k(\mathrm{Re})$ не задаётся и рассматривается как феноменологический параметр модели.

Тут сразу вопрос от чего не зависит $k$ - если он меняется от всех $\rho, \eta, r, h, v$, то формула бесполезна.

1. описка; должно быть, естественно, $x=r/h \leq 1$
2. Главное, что $k$ не зависит явно от $h$ (то есть от $x=r/h$); от остальных параметров он зависит не по отдельности а в виде безразмерной комбинации (числа Рейнольдса). Фокус в том, что эта простая моделька позволяет уловить промежуточный максимум - эффект, найденный в одной из работ с использованием решения Навье-Стокса (никак не могу ее теперь найти).
3. $x_{\rm max}=1/(1-k)$ (еще одна опечатка).

[reterty]

Пошло-поехало: при больших числах Рейнольдса - Режим Вентури / Аттракция!!!

[wrest]

reterty в сообщении #1725940 писал(а):

Но если в случае экраноплана, подъемная аэродинамическая сила имеется изначально и лишь усиливается за счет экранного эффекта, то здесь подъемная сила напрямую генерируется стенкой.

Ещё, вероятно, есть сходство с поднимающимися над поверхностью магнитными головками в жестких дисках.

[Degen1103]

reterty в сообщении #1725925 писал(а):

Очевидно, что характерная скорость под цилиндром $v_{\rm bottom}$ будет несколько меньше чем скорость $v_{\rm top}$ над ним.

Не вполне очевидно.