По плоскости в поле

[DimaM]

На наклонной плоскости с углом $\alpha$ находится тело массы $m$, имеющее положительный электрический заряд $q$. Горизонтальное магнитное поле с индукцией $B$ направлено, как показано на рисунке. Тело начинают тянуть вверх по наклонной плоскости, прикладывая постоянную силу. При какой максимальной длине плоскости тело сможет достичь ее края, не оторвавшись? Ускорение свободного падения $g$, коэффициент трения между телом и плоскостью $\mu$.

Вложение:

2-2.png

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

План решения вроде бы прозрачен:
1. Записываем 2-й закон Ньютона вдоль оси по которой приложена сила $F$:

$m\ddot{x} = F - \mu N - mg \sin \alpha$

2. Записываем выражение для $N$
$N = mg \cos \alpha - vqB$

3. Из 2 сразу получаем условие отрыва:
$mg \cos \alpha = v_1 qB$

4. Подставляем 2 в 1, получаем диффур первого порядка на скорость.
Решаем его, находим $v(t)$
Подставляем скорость отрыва, находим $t_1$ - время отрыва.

5. Интегрируем ещё раз $v(t)$, находим $x(t)$, подставляем $t_1$, находим $x_1$ - точку отрыва.

Если нигде не возникнет трансцендентных уравнений, то всё получится.

[DimaM]

EUgeneUS

(Оффтоп)

Хороший у вас план, товарищ Жюков!

EUgeneUS в сообщении #1724869 писал(а):

Если нигде не возникнет трансцендентных уравнений, то всё получится.

Попробуете довести до конца?

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1724873 писал(а):

Попробуете довести до конца?

Муторно это. Но вот так получилось, если нигде в "арифметике"не ошибся:

$v(t) = \frac{a}{b} (e^{bt} - 1)$
$x(t) = \frac{a}{b^2} (e^{bt} - bt -1)$

$v_{\text{cr}} = \frac{1}{b} g \cos \alpha$
$t_{\text{cr}} = \frac{1}{b} \ln (\frac{g \cos \alpha}{a} +1)$
$x_{\text{cr}} = \frac{a}{b^2} (\frac{g \cos \alpha}{a} - \ln (\frac{g \cos \alpha}{a} +1))$

Где:
$a = F/m - \mu g \cos \alpha - g \sin \alpha$
$b = \frac {qB}{m}$

[DimaM]

EUgeneUS
Так это не решение, поскольку $F$ неизвестна. Надо ж не просто найти $x$, а максимизировать по возможным значениям $F$.
И в выражении для $b$ у меня еще $\mu$ в числителе (хотя мне это не понадобилось).

[EUgeneUS]

Все таки ошибся в "арифметике"
Кое-где $\mu$ потерял.
Позже более внимательно проверю.

[DimaM]

EUgeneUS
Задачка с олимпиады школьников. Это подсказка, чтоб не зарываться по уши в решение дифуров.

[EUgeneUS]

Сначала поправим выражения выше.

$a = F/m - \mu g \cos \alpha - g \sin \alpha$
$b = \frac {\mu qB}{m}$

$v(t) = \frac{a}{b} (e^{bt} - 1)$
$x(t) = \frac{a}{b^2} (e^{bt} - bt -1)$

$v_{\text{cr}} = \frac{\mu}{b} g \cos \alpha$

$t_{\text{cr}} = \frac{1}{b} \ln (\frac{\mu g \cos \alpha}{a} +1)$
$x_{\text{cr}} = \frac{a}{b^2} (\frac{\mu g \cos \alpha}{a} - \ln (\frac{\mu g \cos \alpha}{a} +1))$

DimaM в сообщении #1724880 писал(а):

Так это не решение, поскольку $F$ неизвестна.

Ах, вот оно что...
Вообще говоря, это не следует из условий (что максимум "длины плоскости" нужно искать по всем возможным значениям $F$).

И тут возникает ещё одна проблема с условием....

-- добавлено через 7 минут --

1. $a$ в моей нотации не может быть меньше нуля, так как в этом случае тело поедет вниз, а не вверх.

2. Перепишем выражение для критической длины в таким виде

$x_{\text{cr}} = \frac{\mu g \cos \alpha}{b^2} - \frac{a}{b^2} \ln (\frac{\mu g \cos \alpha}{a} +1)$

Второй (отрицательный) член имеет вид $f(x) = - A x \ln (\frac{B}{x} +1)$
Это монотонно убывающая функция на $(0, + \infty)$, которая меньше нуля на всей области определения. Причем $\lim\limits_{x \to 0+} f(x) =0$

Отсюда следует, что
$\sup x_{\text{cr}} = \frac{\mu g \cos \alpha}{b^2} = \frac{m^2 g \cos \alpha}{\mu (Q B)^2}$

Вот только супремум $x_{\text{cr}}$ никогда не достигается.
И вопрос задачи вот в таком виде:

DimaM в сообщении #1724820 писал(а):

При какой максимальной длине плоскости тело сможет достичь ее края, не оторвавшись?

подвисает. Так как максимума нет - супремум не достигается

-- добавлено через 28 минут --

Впрочем, "оторвется" можно трактовать не как "сила реакции опоры стала ноль", а как "расстояние между плоскостью и телом стало больше нуля".

Тогда вторая "претензия" к условию снимается .
Нет, не снимается ;)

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1724886 писал(а):

Вообще говоря, это не следует из условий (что максимум "длины плоскости" нужно искать по всем возможным значениям $F$).

Вообще говоря, следует.

(Оффтоп)

У меня такие рассуждения. Уравнение движения (с вашей нотацией)

$$\frac{dv}{dt}=a+bv.$$

После формального интегрирования получаем $v=at+bx$. Условие отрыва $v=v_0$ приводит к выражению $x_0=(v_0-at_0)/b$. Замечаем, что $x_0\leq v_0/b$, то есть $x_{\max}=v_0/b$.
Хотя я не исследовал, как ведет себя произведение $at_0$ при $a\to 0$.

Upd.: получается

$$at_0=\frac{a}{b}\ln\left(\frac{b}{a}v_0+1\right)\equiv \frac{\ln(yv_0+1)}{y}.$$

При $y\to\infty$ имеем $at_0\to 0$, так что все хорошо.
Спасибо за ценное замечание, я как-то прежде упустил этот момент.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1724890 писал(а):

Замечаем, что $x_0\leq v_0/b$

Это так.

DimaM в сообщении #1724890 писал(а):

$x_{\max}=v_0/b$.

Это преждевременно.
Заметим, что $x_{\max}=v_0/b$ может быть только при $a=0$. Более того не факт, что $at_0=0$, при $a=0$.

Но нужно заметить, с другой стороны, что
а) при $a=0$ тело находится в равновесии, и никуда, вообще говоря, "не поедет".
б) Хорошо, можем предположить, что тело находится в неустойчивом равновесии, и таки поедет...
в) но тогда надо смотреть какое будет $t_0$ при $a=0$, а оно оказывается бесконечным. Максимум не достигается.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1724893 писал(а):

Более того не факт, что $at_0=0$, при $a=0$.

Факт, см. выше.

[EUgeneUS]

DimaM

Строго говоря, мы не можем утверждать, что $at_0 = 0$, при $a=0$, там же неопределенность возникает вида $0 \cdot \infty$
Можно говорить только в терминах пределов: $at_0 \to 0$, при $a \to 0$

И максимум не существует, ибо супремум не достигается.
ИМХО, было бы хорошо изменить вопрос задачи как-то так:
"При какой минимальной длине плоскости тело обязательно оторвется от плоскости (при любой величине силы $F$, с которой тянут тело)?"

Тогда эта тонкость начинает играть в обратную сторону: если тело доехало до $\sup x_{\text{cr}} = \frac{\mu g \cos \alpha}{b^2} = \frac{m^2 g \cos \alpha}{\mu (Q B)^2}$ за конечное время, то оно оторвалось от плоскости где-то раньше

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1724981 писал(а):

ИМХО, было бы хорошо изменить вопрос задачи как-то так:
"При какой минимальной длине плоскости тело обязательно оторвется от плоскости (при любой величине силы $F$, с которой тянут тело)?"

Громоздко, и дополнительная подсказка.

[EUgeneUS]

DimaM
Подсказку, которая в скобках, можно и не добавлять.
Тут смысл - перевернуть условие, чтобы нюанс границей играл "в другую сторону".

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1725021 писал(а):

Тут смысл - перевернуть условие, чтобы нюанс границей играл "в другую сторону".

Да, так лучше получается. Спасибо.