Переменная в определённом и неопределённом интегралах

[Solaris86]

Здравствуйте.
Вопрос такой: почему переменная в определённом интеграле является немой, а в неопределённом нет?
Например, пусть: $f(x) = x^2$, $f(y) = y^2$, $f(z) = z^2$
При этом $\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_a^b f(y)dy = \int\limits_a^b f(z)dz$, но $\int f(x)dx \not = \int f(y)dy \not = \int f(z)dz$.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1724392 писал(а):

почему переменная в определённом интеграле является немой

Потому что вместо неё подставляются пределы интегрирования:

$$\int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a).$$

Solaris86 в сообщении #1724392 писал(а):

а в неопределённом нет?

Потому что вместо неё ничего не подставляется:

$$\int f(x)dx=F(x)+C.$$

[Solaris86]

Someone в сообщении #1724393 писал(а):

Потому что вместо неё ничего не подставляется:

$$\int f(x)dx=F(x)+C.$$

А можно ли сказать, что $\int f(x)dx = \int f(y)dy = \int f(z)dz$, если $\int f(x)dx = F(x) + C_1$, $\int f(y)dy = F(y) + C_2$, $\int f(z)dz = F(z) + C_3$ и $C_1 = C_2 = C_3 = C$?
Или, другими словами, можно ли сказать, что эти неопределённые интегралы равны с точностью до константы?

[tolstopuz]

Это сводится к более простому вопросу: можно ли сказать, что $F(x)=F(y)=F(z)$?

[Solaris86]

tolstopuz
И каков ответ на этот вопрос?

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1724433 писал(а):

И каков ответ на этот вопрос?

А Вы как думаете?

[Solaris86]

Someone
Я думаю, можно сказать, что они равны.

[tolstopuz]

Solaris86 в сообщении #1724448 писал(а):

Я думаю, можно сказать, что они равны.

Тогда взятие определенных интегралов сильно упрощается:

$$\int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(a)-F(a)=0.$$

[Solaris86]

tolstopuz в сообщении #1724462 писал(а):

Тогда взятие определенных интегралов сильно упрощается:

$$\int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(a)-F(a)=0.$$

Это как так получилось, что из факта $F(x)=F(y)=F(z)$ следует, что $\int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(a)-F(a)=0$?!
По-моему, графики $f(x) = x^2$, $f(y) = y^2$, $f(z) = z^2$ выглядят совершенно одинаково, откуда и следует, что можно приравнять эти функции и их первообразные. У них и области определения, и области значения равны. Что не так-то?!

[Mikhail_K]

Solaris86
Функции - одинаковые. Потому что функция - это $f$, а не $f(x)$, $f(y)$, $f(z)$.
Выражения $f(x)$, $f(y)$, $f(z)$ разные - это результаты применения функции $f$ к разным переменным $x$, $y$, $z$.
Если считать, что $F(x)=F(y)$, то естественно считать и что $F(a)=F(b)$, и тогда всё ломается. Так что $F(x)\neq F(y)$, хотя функция $F$ действительно одна и та же.

Вообще, на Ваш вопрос трудно ответить что-либо, кроме

Someone в сообщении #1724434 писал(а):

А Вы как думаете?

Это не вопрос по существу. Это вопрос, связанный с исторически сложившимся несовершенством записи интегралов. Понятно, что интеграл берётся от функции, а не от выражения, и интегралу от функции $f$ (семейству первообразных, которые тоже функции, а не выражения) неважно, с какой переменной этот интеграл записан. Так что естественнее была бы запись $\int f$, чем $\int f(x)dx$ или $\int f(y)dy$. Другое дело, что запись $\int f$, хотя и была бы более естественной и отражающей суть дела, была бы в то же время значительно менее удобной для записи учебных примеров. Потому что функцию $f$ мы можем определить, задав её формулой, то есть опять же сказав: $f$ - это такая функция, что $f(x)$ равно такому-то выражению для всех $x$ (например: функция $f$ задана формулой $\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)=x^2$). Ещё точнее определять функцию как её график: $f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,y=x^2\}$. И тогда можно было бы написать что-то вроде

$$\int f=\left\{\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,\Big|\,y=\frac{x^3}{3}+C\right\}\,\bigg|\,C\in\mathbb{R}\right\}.$$

Здесь уже $x$ и $y$ - "немые" (связанные) переменные.

Но понятие интеграла и его запись появились в математике задолго до современного языка множеств и функций. Поэтому неудивительно, что они друг с другом не очень хорошо стыкуются.

[Solaris86]

Благодарю за объяснения.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1724529 писал(а):

Это как так получилось, что из факта $F(x)=F(y)=F(z)$ следует, что $\int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(a)-F(a)=0$?!

Очень просто.
Когда Вы писали равенство "$F(x)=F(y)=F(z)$", вы же не написали "если $x=y=z$, то $F(x)=F(y)=F(z)$", а "по умолчанию" известно лишь, что $x$, $y$, $z$ — переменные, вместо которых можно подставлять другие переменные или постоянные. Ну и подставим $a$ вместо $x$ и $b$ вместо $y$. Получим $F(a)=F(b)$. Поэтому в формуле Ньютона–Лейбница мы имеем право заменить $F(b)$ на $F(a)$.