Задача о получении числа 678

[gipokrat]

На Всеизраильской математической олимпиаде шести- и семиклассникам предлагалась следующая задача:

Цитата:

Мы хотим записать выражение, в котором используется только цифра 1 и знаки плюс и минус, а
результат равен 678. Каким наименьшим количеством цифр 1 мы можем обойтись?

Я так понимаю, подразумевается, что из нескольких единиц можно составлять числа вида 11, 111, 1111 и т. д.; иначе задача тривиальна.

Представление с 18 единицами есть:

$$1111-111-111-111-111+11=678.$$

Как доказать, что меньшим числом единиц обойтись нельзя?
Пожалуйста, помогите решить.

P. S. А может, там подвох какой-нибудь? Как у Дирака с тремя двойками, например?

[Null]

$111\times(1+1)\times(1+1+1)+11+1$

-- Ср апр 15, 2026 07:55:12 --

gipokrat в сообщении #1722370 писал(а):

иначе задача тривиальна.

Как то не очивдно.

[gris]

а что, поворачивать знаки можно? Тогда небольшое улучшение предыдущего результата:
$|111+1+1|\times|1+1|\times|1+1+1|$

[Rak so dna]

Можно и без поворота плюсика (нет):

$\left((1+1)(11+1+1)\right)^{(1+1)}+1+1$

-- 15.04.2026, 08:27 --

gipokrat в сообщении #1722370 писал(а):

Как доказать, что меньшим числом единиц обойтись нельзя?
Пожалуйста, помогите решить.

Вроде там совсем небольшой перебор вариантов с одним очевидным замечанием.

[dgwuqtj]

gipokrat в сообщении #1722370 писал(а):

Как доказать, что меньшим числом единиц обойтись нельзя?

Для оценки можно рассматривать остатки при делении на $9$, $2$, $10$, $100$, $11$ и т.п.

[Shadow]

gipokrat в сообщении #1722370 писал(а):

используется только цифра 1 и знаки плюс и минус

Null в сообщении #1722378 писал(а):

$111\times(1+1)\times(1+1+1)+11+1$

Знаки умножения, а также открывающая и закрывающая скобка кажется недопустимы по условию.

gipokrat в сообщении #1722370 писал(а):

Как доказать, что меньшим числом единиц обойтись нельзя?

В задаче для 6-го класса, шутите?. Хотите доказательства, занимайтесь более серьезными задачами.

[Null]

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #1722384 писал(а):

Знаки умножения, а также открывающая и закрывающая скобка кажется недопустимы по условию.

Не заметил :(

[Yadryara]

Скобки недопустимы. Но верхние и нижние индексы, почему бы и нет:

    1+1
  11    = 121

  11    = 12
    11

В первом случае они и не нужны, а во втором их и нет. Ну и знак модуля вроде возможен, да.

Если начнёте говорить о том что хвостик у единички обязателен, посмотрите на Олега Блохина в знаменитом матче.

[Shadow]

$1++1$

(Оффтоп)

определить операцию $++$ не проблема и не запрещено как условием задачи, так и и математическим сообществом.
А если только умножение и вычетание разрешено, то азбукой Морза можно обойтись вообще без единичек.

[EUgeneUS]

gipokrat
Достаточно одной таблэтки (с).
$++...++1$
где два плюса - префиксный инкремент, а плюсов, соответственно, нужно $2 \cdot (678-1)=1354$.
Но единица понадобилась только одна.

[Andrey Lukyanov]

Если перейти в 677-ричную систему счисления, то будет просто 11.

_____

В 25-ричной системе тоже красиво получается:

111+11+1=123

$123_{25}=678_{10}$