Обратная матрица многочлен от исходной?

[artempalkin]

Широкий вопрос: любая ли перестановочная с заданной матрица является многочленом от нее?
Узкий вопрос: обратная матрица к матрице будет ли многочленом от нее?

Ответ на широкий вопрос - нет. Самый простой контрпример - единичная матрица. Она перестановочна с любой, но любой многочлен от нее - лишь скалярная матрица. Тем не менее интересно было бы исследовать сопряженные вопросы какие-то. Но вот интересный пример: для матрицы простой структуры с попарно различными СЗ любая перестановочная матрица представима в виде многочлена от исходной.

Ответ на узкий вопрос - думаю, что нет, но тут все же хитрее. Например, в случае с матрицей простой структуры даже при совпадающих СЗ обратная будет многочленом от нее.
В случае более сложной структуры сразу все нарушается... но как явно доказать, что нет, не знаю...

[RIP]

Ответ на узкий вопрос очевидно положительный. С помощью теоремы Гамильтона–Кэли можно даже явно предъявить многочлен (домножьте $\chi(A)=O$ на $A^{-1}$).

-- Сб 2026-04-04 12:21:30 --

Аналогично любую рациональную функцию от матрицы (без полюсов на спектре матрицы) можно представить в виде многочлена (можно обобщить на аналитические функции).

[artempalkin]

RIP в сообщении #1721547 писал(а):

Ответ на узкий вопрос очевидно положительный. С помощью теоремы Гамильтона–Кэли можно даже явно предъявить многочлен (домножьте $\chi(A)=O$ на $A^{-1}$).

Да, ларчик просто открывался, хотя я бы не сказал, что это очевидно :)
Получается, что

Цитата:

аннулирующий многочлен для невырожденной матрицы существует тогда и только тогда, когда обратная является многочленом от исходной

Наверное, это и впрямь можно назвать очевидным.

RIP в сообщении #1721547 писал(а):

Аналогично любую рациональную функцию от матрицы (без полюсов на спектре матрицы) можно представить в виде многочлена (можно обобщить на аналитические функции).

Я так понимаю, что присутствие СЗ матрицы в полюсах РФ сделает матрицу "в знаменателе" вырожденной, потому что одно из СЗ знаменателя будет ноль, верно?
И тогда РФ теряет смысл (значение) в мире матриц.

[RIP]

Цитата:

аннулирующий многочлен для невырожденной матрицы существует тогда и только тогда, когда обратная является многочленом от исходной

Какое-то странное утверждение. Аннулирующий многочлен существует для любой квадратной матрицы. (Это даже без теоремы Гамильтона–Кэли очевидно: квадратные матрицы порядка $n$ образуют конечномерное векторное пространство размерности $n^2$, так что матрицы $I,A,A^2,\dotsc,A^{n^2}$ линейно зависимы.)

artempalkin в сообщении #1721551 писал(а):

Я так понимаю, что присутствие СЗ матрицы в полюсах РФ сделает матрицу "в знаменателе" вырожденной, потому что одно из СЗ знаменателя будет ноль, верно?
И тогда РФ теряет смысл (значение) в мире матриц.

Да.

[artempalkin]

RIP в сообщении #1721554 писал(а):

Какое-то странное утверждение. Аннулирующий многочлен существует для любой квадратной матрицы.

Ну так и обратная матрица является многочленом от исходной для любой невырожденной матрицы, как мы выяснили. Может быть вернее было бы сказать так: это одно и то же утверждение. Я в принципе так и сказал ("тогда и только тогда").

-- 04.04.2026, 23:48 --

RIP в сообщении #1721554 писал(а):

Это даже без теоремы Гамильтона–Кэли очевидно: квадратные матрицы порядка $n$ образуют конечномерное векторное пространство размерности $n^2$, так что матрицы $I,A,A^2,\dotsc,A^{n^2}$ линейно зависимы.

Интересная мысль, не думал об этом. Учебники же утверждают, что теорема ГК обосновывает существование аннулирующего многочлена, а оказывается это известно и до этого...

Но да, ТГК существенно усиливает все это, в том плане что там все же не многочлен степени $n^2$, а не более $n$. Но тем не менее.

[Утундрий]

artempalkin в сообщении #1721585 писал(а):

Учебники же утверждают, что теорема ГК обосновывает существование аннулирующего многочлена

Теорема ГК это вполне конкретное утверждение: каждая квадратная матрица удлвлетворяе собственному характеристическому уравнению. И я честно не понимаю как здесь всё можно было переврать.

[artempalkin]

Утундрий в сообщении #1721642 писал(а):

Теорема ГК это вполне конкретное утверждение: каждая квадратная матрица удлвлетворяе собственному характеристическому уравнению. И я честно не понимаю как здесь всё можно было переврать.

Чего переврать-то...

ТГК: каждая матрица является корнем своего ХМ. Раз является корнем, значит аннулирующий многочлен существует. В чем проблема? :)

-- 06.04.2026, 08:48 --

Цитата:

Теорема Гамильтона-Кэли устанавливает существование аннулирующего многочлена...

Учебник Ким, Ильин стр. 279

RIP прав в том, что это можно "установить" и без этого, но я лично раньше не думал об этом. Думал, что впервые мы понимаем это, когда узнаём ТГК.