Несколько любопытных последовательностей простых чисел

[gipokrat]

11 наименьших простых $p$, при которых $p^{34}+34$ также является простым числом:

3, 7, 107, 283, 677, 3307, 5297, 8447, 9973, 25667, 26357.

11 наименьших простых $p$, при которых $p^{54}+54$ также является простым числом:

13, 277, 1907, 2543, 3067, 4483, 4943, 5563, 5647, 7253, 8147.

11 наименьших простых $p$, при которых $p^{76}+76$ также является простым числом:

1307, 1619, 2719, 2789, 4463, 4877, 5623, 12569, 14207, 16139, 19219.

11 наименьших простых $p$, при которых $p^{94}+94$ также является простым числом:

8693, 9127, 14057, 14737, 17317, 35447, 35933, 42223, 47963, 62617, 70867.

Надеюсь, кому-нибудь пригодится.
Кстати, ни одной из этих последовательностей пока нет в OEIS.

[gris]

Очень загадочное явление! Если сосредоточиться на формуле $p^n+n$, то удивительно, что по одному простому она даёт при $n=2, 8, 30, 48$, а при ваших $n=34, 54, 76, 114, 118, 142, 160, 202, 208, 214, 220, 234,...$ даёт похоже неограниченные и достаточно густые последовательности.

В OEIS есть разве что родственная тема про простые вида $2^n+n : n={1, 3, 5, 9, 15 ...}$.
Было бы интересно какую-нибудь теорию подогнать)

[Dmitriy40]

gris
Пропустили 94, 154, 186.

[mihaild]

gris в сообщении #1721501 писал(а):

на формуле $p^n+n$, то удивительно, что по одному простому она даёт при $n=2, 8, 30, 48$

А что там по модулям? Для $n=2$ у нас сразу будет делимость на 3. Для больших в уме посчитать не могу, а доступа к технике нет.

[Dmitriy40]

Похоже любые $n=p^t-1$ запрещены по модулю $p$.
Ну и все нечётные $n$ понятно запрещены.

-- 03.04.2026, 22:50 --

И все $n=3^a p^b -1$ запрещены по модулю $3$

-- 03.04.2026, 23:00 --

$n=2+6t$ запрещены по модулю $3$.
$n=4+20t$ запрещены по модулю $5$.
$n=6+42t$ запрещены по модулю $7$.
$n=10+110t$ запрещены по модулю $11$.
И так далее.

-- 03.04.2026, 23:14 --

Похоже по простому модулю $p$ запрещены все $n=p-1\pmod{p^2-p}$.

-- 03.04.2026, 23:23 --

Тогда допустимые $n$:
? for(n=1,399, forprime(p=2,n+1, if(n%(p*p-p)==p-1, next(2))); print1(n,", "))
34, 54, 76, 94, 114, 118, 142, 154, 160, 186, 202, 208, 214, 220, 234, 246, 252, 274, 286, 294, 298, 318, 322, 328, 334, 354, 370, 376, 390, 394,

-- 03.04.2026, 23:37 --

Dmitriy40 в сообщении #1721506 писал(а):

Похоже по простому модулю $p$ запрещены все $n=p-1\pmod{p^2-p}$.

Осталось это как-то доказать ...

[Dmitriy40]

Т.е. доказать надо независимость

$$n=p-1+p(p-1)t$$

$$a^n+n=0\pmod p$$

от $a,t$ (по крайней мере для простых $a$) для любого простого $p$.

Упрощаем:

$$a^{p-1+p(p-1)t}+p-1+p(p-1)t=0 \pmod p$$

$$a^{p-1+p(p-1)t}=1 \pmod p$$

$$a^{p-1}a^{p(p-1)t}=1 \pmod p$$

(по малой теореме Ферма)

$$a^{p(p-1)t}=1 \pmod p$$

$$\left(a^{p-1}\right)^{pt}=1 \pmod p$$

(снова по ней же)

$$1^{pt}=1 \pmod p$$

И получили тождество.
Типа доказал что ли?

-- 04.04.2026, 00:28 --

Во всяком случае все такие $n=p-1+p(p-1)t$ ($p$ любое простое) получается точно запрещены.
Нет ли ещё плюс других запретов - не уверен.

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1721508 писал(а):

Типа доказал что ли?

Однако это ломается если $a$ не взаимно простое с $p$, что возможно при $a=p$.
Т.е. запрет таких $n$ не полный, максимум одно значение для каждого $n$ может быть (но не обязательно есть, например для $p=5, n=4$ значение $a=5$ не даёт простого).