Финальный этап доказательства достаточности критерия Коши.

[DanWalton]

На финальном этапе доказательства мы уже знаем, что последовательность $\mathbf{X_n}$, удовлетворяющая критерию Коши, фундаментальна и в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\mathbf{X_{n_k}}$. Из сходимости подпоследовательности для любого $\varepsilon$ найдётся такой номер $\mathbf{K}$, что для всех $\mathbf{k }$, больших $\mathbf{K}$ выполняется: $\mathbf{|x_{n_k}-a|<}$$\varepsilon$ (1), где $\mathbf{a}$ предельная точка. А в силу фундаментальности исходной последовательности, при достаточно больших $\mathbf{n}$ и $\mathbf{k}$: $\mathbf{|x_{n_k}-x_n|<}$$\varepsilon$ (2). Тогда получаем что $\mathbf{|x_n-a|<2}$$\varepsilon$, то есть и исходная последовательность сходится, доказали.
Но я не понимаю как это работает, например, применительно к двусторонней фундаментальной последовательности $\mathbf{X'_n}$, не включающей предельную точку. В конкретно таком случае и при одних и тех же $\varepsilon$ в правых частях (1) и (2), видно что из (1) и (2) следует равенство $\mathbf{xn}$ и $\mathbf{a}$. То есть член последовательности $\mathbf{X'_n}$ совпадает с предельным элементом вопреки условию, что последовательность предельного элемента не содержит. $\mathbf{x_n}$ не обязан быть равным $\mathbf{a}$ только в случае если вместо $\varepsilon$ в правых частях (1) и (2) выбрать соответственно такие $\mathbf{k_1}$$\varepsilon$ и $\mathbf{k_2}$$\varepsilon$, что $\mathbf{k_2>k_1}$. То есть $\mathbf{x_n}$ может быть не равна $\mathbf{a }$ и при этом может дотягиваться до всех $\mathbf{x_{n_k}}$. Но получается, что проводить доказательство, используя одинаковые $\mathbf{k_1}$ и $\mathbf{k_2}$ для условий (1) и (2) без потери общности нельзя, и такой вариант для общего случая оказывается противоречивым и не подходит?

[dgwuqtj]

DanWalton в сообщении #1721407 писал(а):

В конкретно таком случае и при одних и тех же $\varepsilon$ в правых частях (1) и (2), видно что из (1) и (2) следует равенство $\mathbf{xn}$ и $\mathbf{a}$.

Не следует. Возьмём $x_n = \frac 1 n$, $a = 0$, $\varepsilon = \frac 1 {10}$. Тогда $|x_{n_k} - a| = \frac 1 {n_k}$, $|x_{n_k} - x_n| = |\frac 1 {n_k} - \frac 1 n|$, и оба эти выражения спокойно могут быть меньше $\frac 1 {10}$ (скажем, при $n > 10$ и $n_k > 10$).