Найти параметрическое решение уравнения X^3+Y^3=Z^Z

[nimepe]

Уравнение $X^4+Y^4=3Z^{Z+2}$ разрешимость в целых числах?

Специально для $Shadow$ -на данном форуме попросили меня не приводить параметрические формулы пару месяцев.Эту просьбу я выполняю.По истечении данного периода будут приведены параметрические формулы.

[nimepe]

Господин $Shadow$ проверил ваше решение $X^4+Y^4=4Z^Z$ с помощью ИИ при $$a=1 ,b=1.ИИ показывает, что уравнение не выполняется в целых числах.

-- 26.03.2026, 13:52 --

Уравнение $X^4+Y^4=kZ^Z$ разрешимо в целых числах только при $k=4m+1$.

-- 26.03.2026, 14:08 --

Естественно $m=0,1,2,3,4,5,.....,n$.

[Shadow]

nimepe в сообщении #1721041 писал(а):

.ИИ показывает, что уравнение не выполняется в целых числах.

Так я о чем же?

nimepe в сообщении #1721041 писал(а):

Уравнение $X^4+Y^4=kZ^Z$ разрешимо в целых числах только при $k=4m+1$.

Чем вы читаете? Я же писал, оно разрешимо при любых нечетных $k$, а также $k=2t$ и для некоторых $4t,8t$

-- 26.03.2026, 13:52 --

nimepe в сообщении #1721037 писал(а):

Уравнение $X^4+Y^4=3Z^{Z+2}$ разрешимость в целых числах?

Ну пусть

$a^4+b^4=m \equiv 1 \pmod 4$ (Тоесть, $a,b$ разной четности)

$x=a\cdot 3^u \cdot m^v$

$y=b \cdot 3^u \cdot m^v$

Левая часть получается $3^{4u}\cdot m^{4v+1}$

Ну и пусть $z=3^pm^q$

Правая часть

$3(3^pm^q)^{3^pm^q+2}=3^{p\cdot 3^p\cdot m^q+2p+1} \cdot m^{q\cdot 3^p\cdot m^q+2q}$

Учитывая, что $m^q \equiv 1 \pmod 4$ и $3^p \equiv -1 \pmod 4$ получается

$\begin{cases} -p+2p+1 \equiv 0 \\ -q+2q \equiv 1 \end{cases} \pmod 4$

Или $p \equiv -1, q \equiv 1 \pmod 4$

Не перебаршиваем параметрами, пусть $p=3,q=1$

И пусть $a=1,b=2$

$x=3^{346}\cdot 17^{115}$

$y=2\cdot 3^{346}\cdot 17^{115}$

$z=3^3\cdot 17$

одно из решений.

[nimepe]

Вот и приведите разрешимость при ваших $k=3$ и при четных ваших.То , что вы привели в качестве примера, -не в целых числах(проверено ИИ ).

-- 26.03.2026, 15:14 --

Встречный вопрос к вам-чем вы читаете.?

[Shadow]

nimepe в сообщении #1721045 писал(а):

То , что вы привели в качестве примера, -не в целых числах(проверено ИИ ).

Вы сейчас о чем говорите. О каком уравнении?

-- 26.03.2026, 14:38 --

nimepe в сообщении #1721045 писал(а):

проверено ИИ

Что????? Нашли проверяющего...

[nimepe]

где$X^4$+Y^4$=68 Z^Z$ имеет решение:$X=,Y=,Z=2c$ -решение не в целых числах.Вместо ИИ проверяйте сами.

[Shadow]

nimepe в сообщении #1721050 писал(а):

где$X^4+Y^4=68 Z^Z$ имеет решение:$X=,Y=,Z=2c$ -решение не в целых числах.Вместо ИИ проверяйте сами.

Вы вообще писать нормально умеете? (Я исправил формулу но дальше....чему равно $X$, чему $Y$. Я же писал:

Shadow в сообщении #1721034 писал(а):

$(a,b,c)=(1,2,1);(13,2,41);(43,38,569);(176503,120854,8344969681);\ldots$

то и $x^4+y^4=4\cdot 17 \cdot z^z$ имеет, например

$x=a\cdot 2^{\frac{c+1}{2}}\cdot c^{\frac{c-1}{2}},\quad y=b\cdot 2^{\frac{c+1}{2}}\cdot c^{\frac{c-1}{2}}, \quad z=2c$

Пусть будет второе. ($13,2,41$)

$x=13\cdot 2^{21}\cdot 41^{20}$

$y=2^{22}\cdot 41^{20}$

$z=2\cdot 41$

Проверяем

[nimepe]

Это решение конкретного уравнения.