2^{3x}+2^{8y}+2^{11z}=2^{23q} -разрешимость уравнения

[nimepe]

Разрешимость уравнения $2^{3x}+2^{8y}+2^{11z}=2^{23q} $ в целых числах ?

[Shadow]

Разрешимо.

[Null]

(Оффтоп)

Олимпиадная Задача для школьников 5-6 класс. Школьники сюда вообще заходят?
Поиск всех решений чуть сложнее и ответ не красивый.

[nimepe]

Извините.Имелось, числа $x,y,z,q$- все не нулевые

[Shadow]

Null в сообщении #1720416 писал(а):

Поиск всех решений чуть сложнее и ответ не красивый.

Почему же. Все решения исходят из того что $2^a+2^a+2^{a+1}=2^{a+2}$. Три серии решений. Ничего сложного....но для школьников-может быть.

nimepe в сообщении #1720420 писал(а):

Имелось, числа $x,y,z,q$- все не нулевые

ну и наверное натуральные. Так и не научились правильно формулировать. Хотя бы с одной серией справитесь?

[nimepe]

Данный пример взят из книги"Новый метод решения уравнений" ISBN 5-7269-0065-0 стр30-31

[Shadow]

nimepe в сообщении #1720424 писал(а):

Данный пример взят из книги"Новый метод решения уравнений"

Ну, так называемая "книга" - ваша, я так понимаю. Так что солидности не прибавилось.

[nimepe]

Аналитическое решение данного уравнения:

$x=2024n-752$ ,$y=759n-282$, $z=552n-205$ ,$q=264n-98$

-- 17.03.2026, 15:44 --

Решил проверить ,как решает это уравнение И И:
1 Яндекс ответил ,что это уравнение не имеет решения в целых числах

2.Google написал целую статью-решение в целых числах есть(три серии решений-кому интересно посмотрите)
3 Забил свои решения аналитические которые работают при $n$-любых. ИИ провел проверку.Все правильно.

-- 17.03.2026, 16:02 --

Если такие уравнения решают в 5-6 классах-рад за наших умных учителей и их школьников.

[EUgeneUS]

nimepe в сообщении #1720451 писал(а):

Аналитическое решение данного уравнения:

Это не "аналитическое решение", а всего лишь пример решений данного уравнения.

nimepe в сообщении #1720451 писал(а):

Если такие уравнения решают в 5-6 классах-рад за наших умных учителей и их школьников.

Скорее надо печалиться за тех, кто не может менее чем за минуту ответить на вопрос - имеется ли решения в натуральных числах у данного уравнения.
Хотя полное решение довольно нудное.

[nimepe]

Странные товарищи-чем вас не утраивает приведенное мной параметрическое решение (прямое ,а не то, которое вам выдал И И).ЕЩЕ РАЗ НАПОМНЮ: ДАННОЕ УРАВНЕНИЕ ВЗЯТО МНОЙ ИЗ МОЕЙ КНИГИ "НОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ"-решается напрямую методом логарифмирования.Методом перестановки членов уравнения можно привести еще несколько параметрических формул.

[Rak so dna]

nimepe в сообщении #1720458 писал(а):

ЕЩЕ РАЗ НАПОМНЮ: ДАННОЕ УРАВНЕНИЕ ВЗЯТО МНОЙ ИЗ МОЕЙ КНИГИ "НОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ"-решается напрямую методом логарифмирования.Методом перестановки членов уравнения можно привести еще несколько параметрических формул.

Воу, воу, воу – полегче, полегче! Ну дайте вы народу время подумать. Понятное дело, что Shadow и EUgeneUS решали с помощью ИИ, но ведь есть и те, кто честно хочет разобраться. Пожалуйста, не публикуйте следующую параметрическую формулу хотя бы пару месяцев: дело-то серьезное — надо как следует покумекать.

[Ende]

nimepe в сообщении #1720458 писал(а):

Странные товарищи-чем вас не утраивает приведенное мной параметрическое решение (прямое ,а не то, которое вам выдал И И).ЕЩЕ РАЗ НАПОМНЮ: ДАННОЕ УРАВНЕНИЕ ВЗЯТО МНОЙ ИЗ МОЕЙ КНИГИ "НОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ"

nimepe Предупреждение за хамство, саморекламу и злоупотребление капслоком.

[EUgeneUS]

Rak so dna в сообщении #1720468 писал(а):

Понятное дело, что Shadow и EUgeneUS решали с помощью ИИ, но ведь есть и те, кто честно хочет разобраться.

Если честно, я вообще не решал.
Сразу увидел:

Shadow в сообщении #1720423 писал(а):

Все решения исходят из того что $2^a+2^a+2^{a+1}=2^{a+2}$.

Но уважаемый Shadow был раньше.

-- 17.03.2026, 20:20 --

nimepe в сообщении #1720458 писал(а):

чем вас не утраивает приведенное мной параметрическое решение

Не устраивает тем, что что Вы путаете решение уравнения (одно из многих) и решение задачи.
Например: $x=1$ является решением уравнения $x^2-1=0$, но не является решение задачи "найдите решения уравнения $x^2-1=0$".

Компрене ву?

[Null]

nimepe в сообщении #1720451 писал(а):

Если такие уравнения решают в 5-6 классах-рад за наших умных учителей и их школьников.

Конечно имеется в виду 5 класс с олимпиадной подготовкой, китайская теорема об остатках в обычный школьный курс не входит.
В начале замечаем что достаточно чтобы:

Shadow в сообщении #1720423 писал(а):

$2^a+2^a+2^{a+1}=2^{a+2}$.

То есть:
$a\equiv 0\pmod{3}$
$a\equiv 0\pmod{8}$
$a\equiv 10\pmod{11}$
$a\equiv 21\pmod{23}$
По теореме решение существует.
Поиск всех решений требует подбора или расширенного алгоритма Евклида. Школьники знают эти методы, но боятся считать большие числа :)

[Rak so dna]

Ну вот уравнение $2^{3x}+2^{8y}+2^{11z}=2^{23q}$. Разделим обе части на $2^{3x}$: $1+2^{8y-3x}+2^{11z-3x}=2^{23q-3x}$. Вроде как очевидно, что либо $8y-3x=0$, либо $11z-3x=0$, либо $8y-3x=-1,11z-3x=-1,23q-3x=1$. Ну пусть $8y-3x=0$. Ещё раз разделим обе части на $2$: $1+2^{11z-3x-1}=2^{23q-3x-1}$. Снова очевидно, что $11z-3x-1=0$ и $23q-3x-1=1$ получаем систему:

\begin{cases} 3x=8y\\ 3x=11z-1\\ 3x=23q-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=3y_0\\ z=3z_0+2\\ q=3q_0+1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8y_0=11z_0+7\\ 8y_0=23q_0+7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z_0=8z_1+3\\ q_0=8q_1+7 \end{cases} \Rightarrow

\begin{cases} y_0=11z_1+5\\ y_0=23q_1+21 \end{cases} \Rightarrow 11z_1=23q_1+16 \Rightarrow q_1=11q_2+6$

Возьмём $q_2=0$ и убедимся, что $(x,y,z,q)=(1272,477,347,166)$ будет решением. Что из этого может не знать обычный пяти-шестиклассник (не олимпиадник)?