Правильная расстановка знаков при интегрировании формы ЭМП

[fizGSE]

Я пытаюсь получить что-то похожее на уравнение Максвелла о циркуляции электрического поля, используя дифференциальные формы.

Для простоты рассматриваю контур - единичный квадрат, лежащий в плоскости $z=0$. В пространстве Минковского вытягиваю этот квадрат вдоль $cdt$ до некоторого $ct_0$. Получается трехмерный параллелипипед. Учитывая то, что из уравнений Максвелла в дифференциальных формах $dF=0$, по теореме Стокса интеграл по границе этого параллелепипеда от формы $F$ равен нулю.

Дальше осталось посчитать интеграл по границе. По идее, это сумма интегралов по граням, но интегралы для граней на плоскостях $x=0$, $y=0$, $ct=0$ должны браться с минусом.

На верхней и нижней грани интегралы:

$$\int B_z|_{t=t_0}dxdy$$

$$-\int B_z|_{t=0}dxdy$$

Теперь боковые грани.
${x=1}$:

$$\int_0^{t_0}cdt\int_0^1E_y|_{x=1}dy$$

${x=0}$:

$$-\int_0^{t_0}cdt\int_0^1E_y|_{x=0}dy$$

${y=1}$:

$$\int_0^{t_0}cdt\int_0^1E_x|_{y=1}dx$$

${y=0}$:

$$-\int_0^{t_0}cdt\int_0^1E_x|_{y=0}dx$$

Если собрать все вместе, получим:

$$\int B_z|_{t=0}^{t=t_0}dxdy+\int_0^{t_0}cdt\int_0^1(E_y|_{x=1}dy-E_y|_{x=0}dy+E_x|_{y=1}dx-E_x|_{y=0}dx)=0$$

Тогда как из обычного уравнения Максвелла должно было бы быть:

$$\int B_z|_{t=0}^{t=t_0}dxdy+\int_0^{t_0}cdt\int_0^1(E_y|_{x=1}dy-E_y|_{x=0}dy-E_x|_{y=1}dx+E_x|_{y=0}dx)=0$$

А у меня вообще согласованного направления циркуляции не получается. Такое чувство, что нельзя было так просто преобразовывать интегралы от форм в двойные, но как это делать правильно - пока что ума не приложу.

[Slav-27]

fizGSE в сообщении #1720122 писал(а):

но интегралы для граней на плоскостях $x=0$, $y=0$, $ct=0$ должны браться с минусом

Ошибка здесь.

fizGSE в сообщении #1720122 писал(а):

Такое чувство, что нельзя было так просто преобразовывать интегралы от форм в двойные, но как это делать правильно - пока что ума не приложу.

Надо выбрать на каждой грани координаты $u,v$ так, чтобы $du\wedge dv$ была ориентирована положительно, записать ограничение интегрируемой 2-формы на грань в виде $f(u,v) du\wedge dv$ и вычислить $\int f(u,v)\,du\,dv$.

Давайте зафиксируем ориентацию объемлющего 3-мерного пространства: будем считать, что $dx\wedge dy\wedge dt$ ориентирована положительно. Если внешность интересующего нас тела задаётся уравнением $f>0$, то на его границе форма $dS$ ориентирована положительно, если $df\wedge dS$ ориентирована положительно.

Например, на грани $t=0$ внешность задаётся уравнением $-t>0$, поэтому $-dx\wedge dy$ ориентирована положительно, так как $-dt\wedge -dx\wedge dy = dx\wedge dy\wedge dt$ ориентирована положительно. Значит, по этой грани $\int B_zdx\wedge dy = \int (-B_z)(-dx\wedge dy) = \int(- B_z)\,dx\,dy$, как вы и пишете. Разберите так остальные 5 граней.

[fizGSE]

Slav-27 в сообщении #1720138 писал(а):

Ошибка здесь.

Конкретно эту идею я взял из книги Н. В. Ефимова "Введение в теорию дифференциальных форм". Там интеграл по границе единичного куба как раз определяется как сумма интегралов по граням, притом интеграл берется со знаком минус, если грань вида $(t^1,...,t^{i-1},0,t^{i+1},...,t^k)$, и плюс, если $(t^1,...,t^{i-1},0,t^{i+1},...,t^k)$. Это какая-то другая точка зрения на вопрос, или я что-то здесь не так понимаю?

[Slav-27]

Там написано то же самое, что я написал. А у вас сейчас

fizGSE в сообщении #1720143 писал(а):

если грань вида $(t^1,...,t^{i-1},0,t^{i+1},...,t^k)$, и плюс, если $(t^1,...,t^{i-1},0,t^{i+1},...,t^k)$

две одинаковые формулы, это не может быть правильно.

[fizGSE]

Да, там должна была быть единица вместо нуля во второй формуле.

[fizGSE]

Для $x=1$:
$x>0$
$dS=dy\wedge cdt=-cdt\wedge dy$

Для $x=0$
$-x>0$
$dS=-dy\wedge cdt=cdt\wedge dy$

Для $y=1$
$y>0$
$dS=-dx\wedge cdt=cdt\wedge dx$

Для $y=0$
$-y>0$
$dS=dx\wedge cdt=-cdt\wedge dx$

Для $ct=1$:
$t>0$
$dS=dx\wedge dy$

Мне кажется, или направление циркуляции выходит противоположное правильному? По часовой стрелке, если смотреть против оси $z$.

[Cos(x-pi/2)]

Возможно, дело в том, что следует учесть (если не было учтено), что в 2-форму $F$ компонента магнитного поля $B_z$ входит с минусом: $(-B_z)\,dx\wedge dy.$

[Slav-27]

fizGSE в сообщении #1720159 писал(а):

Да, там должна была быть единица вместо нуля во второй формуле.

По-моему, всё равно неправильно. Может, в вашем издании опечатка? Я смотрю "Введение в теорию внешних форм" Ефимова 1977 года, там написано, что для нечётных $i$ знаки такие, как вы пишете, а для чётных $i$ -- наоборот (формула (1) на стр. 65). Это согласуется с тем, что написал я, а также с формулой

fizGSE в сообщении #1720122 писал(а):

Тогда как из обычного уравнения Максвелла должно было бы быть:

$$\int B_z|_{t=0}^{t=t_0}dxdy+\int_0^{t_0}cdt\int_0^1(E_y|_{x=1}dy-E_y|_{x=0}dy-E_x|_{y=1}dx+E_x|_{y=0}dx)=0$$

Ваше замечание про циркуляцию я не понял. Может быть, стоит написать всё конкретнее, начиная, действительно, с формулы для $F$.