Равномерная сходимость ряда

[Dedekind]

Задание: доказать, что функция $g(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{1 + x^{2n}}$ непрерывна на множестве, на котором ряд сходится.

По сути, нужно доказать равномерную сходимость ряда на $(-1,1)$, из чего будет следовать результат. Поточечно ряд, конечно, сходится, потому что $\dfrac{x^{2n}}{1 + x^{2n}} \le x^{2n}$, а последнее есть геометрическая прогрессия. Но вот с равномерной сходимостью застрял. В целом, по Weierstrass M-test (сори, не знаю как по-русски) можно доказать равномерную сходимость ряда на любом интервале вида $[-a, a]$, где $0\le a < 1$, поскольку на таком интервале $\dfrac{x^{2n}}{1 + x^{2n}} \le a^{2n}$ и $\sum a^{2n}$ сходится. Но как отсюда сделать вывод (и можно ли?) о равномерной сходимости на $(-1,1)$?

[dgwuqtj]

Dedekind в сообщении #1719770 писал(а):

Но как отсюда сделать вывод (и можно ли?) о равномерной сходимости на $(-1,1)$?

Никак. И равномерная сходимость на всём интервале не обязательна для непрерывности, достаточно равномерной сходимости на всех компактных подмножествах интервала. Вы как раз поняли, что ряд сходится равномерно на отрезках.

[Dedekind]

dgwuqtj в сообщении #1719771 писал(а):

достаточно равномерной сходимости на всех компактных подмножествах интервала

Что-то похожее гуглится только в комплексном анализе. Можете, пожалуйста, дать ссылку? И можно ли как-то решить другим путем? Поскольку учебник явно не предполагает ничего такого

[ex-math]

Каждая точка интервала принадлежит некоторому отрезку, на котором есть равномерная сходимость, а значит и непрерывность. Поэтому непрерывность есть в каждой точке интервала.

[Dedekind]

ex-math, dgwuqtj
Да, действительно. Спасибо!