Комплексное сопряжение это независимая алгебраическая опер?

[granit201z]

Пусть есть комплексное число $z$. В его компоненты мы залазить не можем. Можно ли комбинацией стандартных алгебраических операций получить $\bar{z}$? Лучшее, что я смог сделать - это $z^{-1}$. Получается комплексное число, лежащее на той же прямой, что и $\bar{z}$, но в $r^2$ раз короче, чем само $z$ и соответственно $\bar{z}$ . Но так как во внутренние компоненты я по условию влезть не могу, то и определить разницу между $r_1$ и $r_2$ в виде конкретного числа тоже. А соответственно $z^{-1}$ это всего лишь $z^{-1}$, пропорциональное $\bar{z}$, но без какой либо определенности этого самого коэффициента пропорциональности. И, сдается мне, что это гиблое дело - его искать. Т.е. комплексное сопряжение независимая операция

-- 24.02.2026, 16:07 --

granit201z в сообщении #1718945 писал(а):

Лучшее, что я смог сделать - это $z^{-1}$.

В принципе, для комплексного числа единичной длинны это и есть операция сопряжения выходит что... А вот когда длина произвольна как быть?

[granit201z]

Похоже я всех достал вопросами))

[Anton_Peplov]

Если Вы умеете только складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа, но не умеете вычислять ни действительную, ни мнимую часть, ни модуль, ни аргумент, то, имея $z$, Вы не доберетесь до $\bar z$. В этом смысле комплексное сопряжение - действительно независимая операция.

[Null]

Условия Коши-Римана надо как-то обойти, функция будет не голоморфной.

[mihaild]

Интересно, есть ли какой-то более простой, чем условия Коши-Римана, инвариант, сохраняющийся при арифметике, нарушенный для сопряжения. Я сходу не придумал.

[granit201z]

Anton_Peplov в сообщении #1718956 писал(а):

Если Вы умеете только...

Вот не умеете Вы без подковырки)) Но в целом спасибо. Ответ полезный... Хоть и не радует
...
Хотя, может, это и не подковырка. А как вычислять модуль, мнимую, комплексную части, аргумент? При условии, что ни одна из этих, назовем так, компонент не задана?

[mihaild]

granit201z в сообщении #1718967 писал(а):

Вот не умеете Вы без подковырки

Это не подковырка, это стандартный жаргонизм для выразимости одной операции через другие.

[dgwuqtj]

mihaild в сообщении #1718966 писал(а):

Интересно, есть ли какой-то более простой, чем условия Коши-Римана, инвариант, сохраняющийся при арифметике, нарушенный для сопряжения.

Есть сохранение/изменение ориентации, это немного проще.

[granit201z]

mihaild в сообщении #1718968 писал(а):

Это не подковырка, это стандартный жаргонизм для выразимости одной операции через другие.

(Оффтоп)

Да я понял, просто шутнул. А потом подумал - "а, вдруг, все таки подковырка - и на всякий случай дополнил сообщение)

[Anton_Peplov]

granit201z в сообщении #1718967 писал(а):

А как вычислять модуль, мнимую, комплексную части, аргумент? При условии, что ни одна из этих, назовем так, компонент не задана?

Очевидно, это зависит от того, в каком виде Вам даны комплексные числа. Стандартные представления - $a + ib$, точка на комплексной плоскости либо сфере или $\rho e^{i\varphi}$ - определены так, чтобы либо вещественную и мнимую часть, либо модуль и аргумент было сразу видно. Потому что все остальное, включая арифметические операции, определяется через них.

Но можно вообразить и какое-то экзотическое представление. Например, такое. У Вас есть черный ящик, внутри которого находятся, во-первых, биекция $f \colon \mathbb R \to \mathbb C$, а во-вторых, калькулятор. Вы подаете на вход черного ящика два действительных числа $x_1, x_2$ и нажимаете на кнопку "+". Черный ящик по одному ему известному правилу находит по действительным числам $x_1, x_2$ взаимно однозначно соответствующие им комплексные числа $z_1, z_2$, выполняет сложение и возвращает число $x$, взаимно однозначно соответствующее комплексному числу $z_1 + z_2$ (черный ящик у нас волшебный, умеющий принимать и возвращать любые действительные числа, включая иррациональные и даже невычислимые). Как Вам уже сказали выше, если на калькуляторе есть только кнопки "+, -, *, /", то Вы никак не вычислите по числу $x \in \mathbb R$ число $y \in \mathbb R$ такое, что $y = f^{-1}(\bar z)$, где $z = f(x)$.

[amon]

granit201z в сообщении #1718952 писал(а):

Можно ли комбинацией стандартных алгебраических операций получить $\bar{z}$?

Нет. Стандартные операции это повороты, сдвиги и растяжения плоскости. Они переводят правую систему координат в правую. Комплексное сопряжение это отражение. Оно переводит правую систему в левую. Об этом уже сказал уважаемый dgwuqtj, я лишь поясняю о чем речь.

[granit201z]

amon в сообщении #1718979 писал(а):

Стандартные операции это повороты, сдвиги и растяжения плоскости. Они переводят правую систему координат в правую. Комплексное сопряжение это отражение. Оно переводит правую систему в левую.

А почему тогда $\frac{1}{z}$ делает то, что делает? С точки зрения геометрических преобразований это похоже на отражение с одновременным сжатием (ну или растяжением)... Выворачивание наизнанку относительно единичного круга с одновременным отражением - вот.

[dgwuqtj]

granit201z в сообщении #1718991 писал(а):

С точки зрения геометрических преобразований это похоже на отражение с одновременным сжатием (ну или растяжением)...

Это композиция инверсии и отражения. И инверсия, и отражение меняют ориентацию, так что их композиция сохраняет ориентацию.