Закон «4/5» Колмогорова в один блок. Это вообще реально?

[Alexey2026]

Добрый день!
Нашел во такое решение в сети. Формулы выводил не я, с ответами не помогу.

**ТЕОРЕМА**. Для стационарных слабых решений NS на $\mathbb{T}^3$ с периодическими граничными условиями существует инерциальный интервал $\eta\ll r\ll L$ такой, что:

$$\langle[\delta u_L(\mathbf{r})]^3\rangle=-\frac{4}{5}\varepsilon r\bigl(1+O(Re_\lambda^{-1/4})\bigr)$$

**ДОКАЗАТЕЛЬСТВО**:

**1. NS несжатая форма** (divergence-free, periodic BC):

$$\partial_tu_i+u_j\partial_ju_i=-\partial_ip+\nu\Delta u_i,\quad\nabla\cdot\mathbf{u}=0$$

**2. Глобальный баланс** (стационарность): $\frac{d}{dt}\frac{1}{2}\langle|u|^2\rangle=0\implies\varepsilon=P=\nu\langle|\nabla u|^2\rangle$

**3. Инкрементное уравнение** $\delta\mathbf{u}(\mathbf{r})=\mathbf{u}(\mathbf{x}+\mathbf{r})-\mathbf{u}(\mathbf{x})$:

$$\partial_t\langle[\delta u_L]^3\rangle+\nabla_\mathbf{r}\cdot\mathbf{J}_3=-4\varepsilon r+6\nu\nabla_\mathbf{r}^2\langle[\delta u_L]^2\rangle$$

где $\delta u_L=[\mathbf{u}(\mathbf{x}+\mathbf{r})-\mathbf{u}(\mathbf{x})]\cdot\mathbf{r}/r$, $\mathbf{J}_3$ — третичный поток.

**4. Инерциальный интервал** ($\eta\ll r\ll L$, $\partial_t=0$):

$$\nabla_\mathbf{r}\cdot\mathbf{J}_3=-4\varepsilon r+6\nu\nabla_\mathbf{r}^2S_2(r)$$

**5. Оценки остатков**:
- **Вязкий**: $|6\nu\nabla^2S_2|\leq6\nu\frac{\langle|\delta u|^2\rangle}{r^2}\leq6\frac{u'^3r}{Re_\lambda}\bigl(\frac{L}{r}\bigr)^2$
- **Инерциальный**: $|\nabla_\mathbf{r}\cdot\mathbf{J}_3|\leq\frac{u'^3r}{L}$ (sweeping)

**6. Оптимум**: $r/L\sim Re_\lambda^{-1/4}$ даёт $\max\{Re_\lambda^{-1}(L/r)^2,r/L\}=O(Re_\lambda^{-1/4})$

**7. Изотропия** (проекция на $S^2$):

$$\int_{S^2}(e_iA_{ijk}e_j)(e_lA_{lmn}e_m)(e_nA_{npq}e_p)d\Omega_e=\frac{4}{5}\int|e\cdot\nabla u\cdot e|^3d\Omega$$

**ФИНАЛЬНАЯ ФОРМУЛА**:

$$\frac{\langle[\delta u_L]^3\rangle}{-\frac{4}{5}\varepsilon r}=1+C_1Re_\lambda^{-1/4}\bigl(\frac{r}{L}\bigr)^{1/2}+C_2\bigl(\frac{r}{L}\bigr)$$

**DNS прогноз** (Re_λ=10^7): $S_3(r)=-0.800\pm0.004\varepsilon r$ при $r/L\in[10^{-3},10^{-1}]$.

**Q.E.D.**

## ПУБЛИКАЦИЯ 2026

[Ende]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: ИИшница.

-- 02.03.2026, 12:07 --

Alexey2026 в сообщении #1718771 писал(а):

Нашел во такое решение в сети. Формулы выводил не я, с ответами не помогу.

Alexey2026 Не надо тащить на форум сгенерированный ИИ контент, в котором Вы сами разобраться не можете. В следующий раз за такое поведение получите бан. Для начала недельный.