помогите установить соотношение между функциями

[granit201z]

Здравствуйте есть такое уравнение (сыну задали по математике в 7 классе):
$\frac{2b'}{b}=-\frac{a''}{a'}$,
a и b функции переменной x. Я уже всю голову сломал. Меня вот этот знак "минус" в правой части просто убивает. Не будь его и можно было бы предположить, что $a'=b^2$. Но он есть, и прямо уже бесит, если честно. Все таки мне кажется в 7-м классе такие задания давать пока что рановато

[gris]

В седьмом производные изучают только от константы и линейной функции. В шестом уже знают, что минус ноль это тоже ноль. Ну и вот пример: $a=4x+5; b=6$

[warlock66613]

Производные в 7 классе?

granit201z в сообщении #1718633 писал(а):

Не будь его и можно было бы предположить, что $a'=b^2$.

Ну так предположите, что $a' = b^ {-2}$.

[granit201z]

gris в сообщении #1718634 писал(а):

В седьмом производные изучают только от константы и линейной функции. В шестом уже знают, что минус ноль это тоже ноль. Ну и вот пример: $a=4x+5; b=6$

Прошу прощения, он в 8-м. Совсем закружился - забыл. В общем b не константа

[warlock66613]

Методами второго семестра универа это решается элементарно, но 7-8 класс...

[granit201z]

warlock66613 в сообщении #1718638 писал(а):

Методами второго семестра универа это решается элементарно, но 7-8 класс...

Да пошутил я. Просто не хотелось начинать тему с того, что я тупой)

[warlock66613]

Ну тогда вспомните, что $(\ln f)' = f' / f$

[granit201z]

warlock66613 в сообщении #1718635 писал(а):

Ну так предположите, что $a' = b^ {-2}$.

Огромное спасибо. Вы меня очень выручили!

[TOTAL]

Что понимается под "соотношением между функциями"?
Если обе функции выражены через какую-то другую функцию, то это оно? Или такое нельзя?

[granit201z]

warlock66613 в сообщении #1718635 писал(а):

Ну так предположите, что $a' = b^ {-2}$.

Наберусь наглости и задам еще один вопрос. А вот если a и b функции нескольких переменных, то есть если заменить $a$ на $a(\vec{x})$, $a'$ на $\frac{da(\vec{x})}{d\vec{x}}$, $a''$ на $\frac{{d^2}a(\vec{x})}{d\vec{x}^2}$ и соответственно для $b$ так же, то это ловкое взаимоотношение между функциями все равно сохранится?

-- 20.02.2026, 16:09 --

TOTAL в сообщении #1718644 писал(а):

Если обе функции выражены через какую-то другую функцию, то это оно? Или такое нельзя?

я не знаю как грамотно сформулировать. Имелось ввиду, что $b$ в идеале произвольная функция насколько это возможно, а $a$ под нее подгоняется, чтобы выполнялось вышеприведенное равенство

[svv]

Тут ещё есть такой приём, не претендующий на универсальность. Запишем уравнение в виде
$a''b+2a'b'=0$
(Мы осознаём, что таким преобразованием добавляем лишние решения $a'=0$ и $b=0$, которые не являются решениями исходного уравнения.)

Надо представить всю левую часть как производную чего-то. Это позволит понизить порядок уравнения со второго до первого. Левая часть очень напоминает $u'v+uv'=(uv)'$. Не будь двойки, было бы очевидно, что надо взять $u=a', v=b$, и тогда бы
$a''b+a'b'=(a'b)'=0$, откуда $a'b=\operatorname{const}$, а это уравнение первого порядка.

Но с двойкой тоже получится, надо только домножить обе части на $b$. Сгруппирую множители, чтобы был яснее намёк:
$a''\cdot b^2+a'\cdot 2bb' = 0$
Видите здесь шаблон $u'v+uv'$ ?

[granit201z]

svv в сообщении #1718663 писал(а):

Видите здесь шаблон $u'v+uv'$ ?

Да. Точно! $(a'b^2)'$

svv в сообщении #1718663 писал(а):

Но с двойкой тоже получится, надо только домножить обе части на $b$. Сгруппирую множители, чтобы был яснее намёк:
$a''\cdot b^2+a'\cdot 2bb' = 0$

Блин, реально круто!

[svv]

Да, верно, ну и получаем, что $a'b^2=C$ (константа). А это уже почти ответ.

Вот этот множитель $b$, на который мы домножили, чтобы получилась полная производная, называется «интегрирующий множитель». К сожалению, часто найти его не проще, чем решить исходное уравнение.

[granit201z]

svv в сообщении #1718669 писал(а):

верно, ну и получаем, что $a'b^2=C$ (константа). А это уже почти ответ.

Да. Получается, что $a'=\frac{C}{b^2}$
То есть сама $a$ это какая то $f(b(x))$? Причем, насколько я понимаю, зависимость эта довольно простая?

-- 21.02.2026, 02:22 --

svv в сообщении #1718669 писал(а):

К сожалению, часто найти его не проще, чем решить исходное уравнение.

ну это да. Но сам вид , форма, формула $b(x)$ мне пока и не нужен. Мне бы сначала разобраться во внешнем виде $a(b)$, чтобы убрать это $a$ из другого, более громоздкого уравнения, оставив там единственную неизвестную функцию $b$ и ее производные

-- 21.02.2026, 02:29 --

svv в сообщении #1718669 писал(а):

ну и получаем, что $a'b^2=C$

Блин! Так вот как это

warlock66613 в сообщении #1718635 писал(а):

Ну так предположите, что $a' = b^ {-2}$.

выводится!... То есть это оказывается чуть больше, чем просто удачное предположение)

-- 21.02.2026, 02:53 --

svv в сообщении #1718669 писал(а):

А это уже почти ответ.

а может ли быть так, что $a=Cb^{-1}$?... Но нет! Там же еще нужно на $b'$ домножать... Запутался я. $b'$ то в полученном решении $a'=\frac{C}{b^2}$ вообще не фигурирует... Значит исходная штука должна быть уже с $b'$, но где то в знаменателе. Чтобы добавившись он тут же сократился?

[granit201z]

granit201z в сообщении #1718671 писал(а):

штука должна быть уже с $b'$, но где то в знаменателе.

ну или в таком месте, чтобы операция дифференцирования отправила его в знаменатель?

-- 21.02.2026, 03:23 --

granit201z в сообщении #1718671 писал(а):

Значит исходная штука должна быть уже с $b'$, но где то в знаменателе. Чтобы добавившись он тут же сократился?

granit201z в сообщении #1718672 писал(а):

ну или в таком месте, чтобы операция дифференцирования отправила его в знаменатель?

блин, но вроде же ни так, ни так не бывает?
...
Не пойму как представить $a$ через $b$, если известна $a'$ через $b$