Почему икосаэдр вообще возможен?

[B@R5uk]

Все привыкли со школы, что у нас в трёхмерном пространстве имеет пять Платоновых тел, одним из которых является икосаэдр. Он имеет 20 граней, причём все они являются правильными треугольниками, что было очень важно для древнегреческих философов. Этот объект за долгое время стал на столько привычным, что я даже не задумывался над тем, как необычно само его существование.

Ведь на это тело можно взглянуть с "другой стороны": с точки зрения связей и степеней свобод. Икосаэдр имеет 12 вершин и 30 рёбер. Каждая вершина имеет 3 степени свободы, длину ребра считаем фиксированной. Всего 36 степеней свободы, однако из них нужно вычесть 6 степеней свободы, связанных с движением тела как целого в 3-мерном пространстве (3 поступательных и 3 вращательных), так как на эти степени свободы невозможно "повлиять" фиксируя только лишь расстояния между точками тела (смотри: движение и степени свободы твёрдого тела). Получается 30 степеней свободы против 30 связей — ничего удивительного. Кажется.

Кажется — потому что икосаэдр вписывается в сферу. С ней связаны 4 новых неизвестных: координаты центра и радиус, а также 12 новых связей (в виде равенства радиусу расстояний от центра сферы до вершин икосаэдра). Это целых 8 лишних уравнений! Которые, тем не менее, все оказываются удовлетворены.

Если рассматривать это тело как выпуклую оболочку 12 точек на единичной сфере с центром в начале координат, то "арифметика связей и свобод" получается другой, но ведёт к тому же результату. По 2 степени свободы на каждую из 12 вершин, плюс 1 степень свободы на длину ребра (которое надо найти), минус 3 вращательных степени свободы (поступательных нет), получается 22 степени свободы против 30 связей. То есть всё так же избыток связей равен 8-ми.

Почему такое вообще возможно? Понятно, что когда есть конкретное тело, то мы может взять и убедиться, что оно именно такое. Но это проверка постфактум, она не позволяет понять, откуда это решение взялось, и что вообще происходит глобально. Или какие могут быть другие решения (у октаэдра, например, похожая ситуация, правда у него избыток связей равен "всего лишь" 2-ум).

Я так подозреваю, что дело в симметриях. Но в симметриях не просто тела (хотя в каждом конкретном случае его симметрия объясняют избыток связей для этого тела), а движений пространства, сохраняющих расстояния. Например, (дискретная) группа симметрий икосаэдра является подгруппой (непрерывной) группы движений пространства, сохраняющих расстояния и положение начала координат. Я правильно понимаю? Как это более грамотно можно сформулировать? И можно ли это использовать для поиска каких-либо "особенных" тел в пространствах высшей размерности?

[dgwuqtj]

Если интересно про симметричные многогранники, то начните с правильных. Это те, у которых группа симметрий действует транзитивно на флагах (в некотором смысле наибольшая возможная). Любой правильный $n$-мерный многогранник имеет вписанную и описанную гиперсферы.

[B@R5uk]

dgwuqtj, спасибо. Конечно же, я в курсе этих четырёхмерных объектов. На икосаэдре вопрос объяснить было проще и нагляднее. Меня интересуют не сами решения, а откуда они берутся. Есть какая-нибудь теория, которая объясняет почему они возможны.

[dgwuqtj]

Есть общая брошюра Смирнов, Группы отражений и правильные многогранники. Там все правильные многогранники единообразно строятся через системы корней.

[Someone]

B@R5uk в сообщении #1716772 писал(а):

Это целых 8 лишних уравнений! Которые, тем не менее, все оказываются удовлетворены.

Значит, эти дополнительные уравнения выводятся из остальных, определяющих икосаэдр. Почему Вы думаете, что они независимые?

[B@R5uk]

Someone, ну разумеется, что система уравнений совместна, иначе бы икосаэдр в сферу не вписывался бы. К вашему вопросу можно подойти с другой стороны: а почему я должен думать, что они зависимые? Они же нам, вообще говоря, ничего не обязаны. Именно на эту причину зависимости я хочу обратить внимание. Как это объяснить не технической проверкой заданной системы уравнений, а с более общей позиции?

-- 01.02.2026, 13:54 --

dgwuqtj, за книжку большое СПАСИБО! Качнул, почитаю на досуге, попытаюсь вникнуть. Там как раз про графы Кокстера написано, примеры которых я видел в вики в статьях про симметрии, группы и многогранники и думал, что же они такое обозначают.

[Someone]

B@R5uk в сообщении #1716882 писал(а):

Как это объяснить не технической проверкой заданной системы уравнений, а с более общей позиции?

Что значит — "с более общей позиции"? Ничего не зная об этих уравнениях? Тогда — никак.