О чем предмет теории моделей

[maximk]

Модель есть пара - множество и интерпретирующее отображение (см. Кейслер, Чэн, "Теория моделей", стр. 33). Стало быть, моделью может быть только объект исключительно некоторой теории множеств?

[dgwuqtj]

При чём тут теория множеств? Если не углубляться в нестандартные основания, то начиная с университетского курса вообще все математические объекты считаются множествами (ну или абстрактными "атомами" без внутренней структуры, вроде чисел). Языки первого порядка, формулы в них, формальные выводы и модели — это всё математические объекты. То есть множества.

[maximk]

В смысле причем тут теория множеств? Если вы говорите, что А есть множество, то, работая со строгими утверждениями об А, вы работаете с утверждениями на языке некоторой формальной теории, то есть аксиоматической. Скажем, ZF.
Итак, получится, что модель, будучи множеством, есть объект, скажем, теории ZF (или любой другой, скажем, NBG).

[Anton_Peplov]

maximk в сообщении #1716161 писал(а):

Модель есть пара - множество и интерпретирующее отображение (см. Кейслер, Чэн, "Теория моделей", стр. 33). Стало быть, моделью может быть только объект исключительно некоторой теории множеств?

А почему Вы спрашиваете только про теорию моделей?

Группа - это множество плюс бинарная операция, подчиненная трем общеизвестным аксиомам. Нужна ли теория множеств для изучения теории групп?

Линейное пространство - это множество $X$ плюс поле $P$ (которое тоже множество + две бинарные операции) плюс функция $X \times X \to X$ и функция $X \times P \to X$, подчиненные общеизвестным аксиомам. Нужна ли теория множеств для изучения линейной алебры?

Вероятность - это нормированная сигма-аддитивная мера на некоторой сигма-алгебре, а сигма-алгебра - это система подмножеств, которая... Нужна ли теория множеств для изучения теории вероятностей?

Топологическое пространство - это множество и система его подмножеств, которое... Нужна ли теория множеств для изучения общей топологии?

И т.д. и т.п., в математике чуть ли не каждое базовое определение начинается с "возьмем множество". Обычно никто не оговаривает, какой теории множеств подчиняется это множество.

Известно, что не все теоремы алгебры или анализа могут быть формализованы в ZF, поскольку некоторые требуют еще и аксиомы выбора. Например, теорема о том, что всякая система линейно независимых векторов может быть дополнена до базиса, и наоборот, всякая система такая, что пространство является ее линейной оболочкой, может быть обрезана до базиса. См. Halpern J.D. Bases in vector spaces and the axiom of choice // Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 670-673. http://www.ams.org/journals/proc/1966-0 ... 4340-1.pdf. Вероятно, не все подобные вопросы еще решены, т.к. никто не провел полную формализацию теорем той же линейной алгебры в какой-нибудь теории множеств. По сути, математики полагаются на то, что их рассуждения при необходимости можно будет формализовать в какой-нибудь разумной системе оснований, например, той же ZFC.

[maximk]

Anton_Peplov в сообщении #1716185 писал(а):

maximk в сообщении #1716161 писал(а):

Модель есть пара - множество и интерпретирующее отображение (см. Кейслер, Чэн, "Теория моделей", стр. 33). Стало быть, моделью может быть только объект исключительно некоторой теории множеств?

А почему Вы спрашиваете только про теорию моделей?

Чтобы, например, поставить вопрос, а почему в качестве модели мы не можем взять, скажем, объект теории арифметики Пеано? Чем PA в этом смысле отличается от любой другой аксиоматической теории? Раз модель есть множество, то есть объект некоторой аксиоматической теории, который просто назвали множеством (и более ничего за этим, видимо, не стоит), так давайте и объект PA назовем множеством и будем рассматривать в качестве модели.

[dgwuqtj]

maximk в сообщении #1716184 писал(а):

Если вы говорите, что А есть множество, то, работая со строгими утверждениями об А, вы работаете с утверждениями на языке некоторой формальной теории, то есть аксиоматической. Скажем, ZF.

Вы когда говорите про ZF, её тоже понимаете как объект некоторой формальной мета-теории ZF'? А ZF', в свою очередь, формализуется в ZF'', и так далее?

Если взять почти любой математический текст, формальной теории там не будет. Если же формализовывать, то та математика, при помощи которой мы формализуем, как правило опять же неформальная.

-- 25.01.2026, 18:43 --

maximk в сообщении #1716189 писал(а):

Раз модель есть множество, то есть объект некоторой аксиоматической теории, который просто назвали множеством (и более ничего за этим, видимо, не стоит), так давайте и объект PA назовем множеством и будем рассматривать в качестве модели.

Раз треугольник есть множество, то есть объект некоторой аксиоматической теории, который просто назвали множеством (и более ничего за этим, видимо, не стоит), так давайте и объект PA назовем множеством и будем рассматривать в качестве треугольника. А потом вы объясните это семиклассникам.

[maximk]

Нет уж, чем объяснять семиклассникам, лучше сами пойдем в седьмой класс и будем там самыми умными, как Потапов из серии Ералаша.

Да, вы правильно описали мой подход. Будем предполагать иерархию метатеорий, явно ее не указывая.

Если вы скажете про то, что мы "понимаем" под треугольником, то я просто спрошу, а в каком учебнике по математике этот объект (понимание) определяется. Ну и, разумеется, сведу это определение к предельно формальному, чтобы избежать "непонимания".

[Anton_Peplov]

maximk в сообщении #1716189 писал(а):

Так давайте и объект PA назовем множеством

В теории моделей требуются некоторые свойства множеств, например, их мощность. Классический пример - теорема Лёвенгейма: если высказывание (языка логики предикатов первого порядка с равенством) имеет бесконечную модель, то оно имеет и счетную модель. Для объектов PA, если под ними Вы разумеете числа в PA, не определено понятие мощности - во всяком случае, бесконечной.

С другой стороны, все требуемые свойства множеств есть в любой распространенной теории множеств. Если Вам хочется точнее понимать, что Вы называете множеством, можете везде считать, что это множество из теории ZFC. Все теоремы теории моделей останутся верными. Наверное. Если найдете такую, которая не совместима с ZFC, срочно публикуйте, это будет фантастический результат.

[dgwuqtj]

Anton_Peplov в сообщении #1716193 писал(а):

Все теоремы теории моделей останутся верными. Наверное.

Есть результаты, использующие аксиомы о больших кардиналах или расширения ZF, противоречащие аксиоме выбора. Но такое явно указывается.

[EminentVictorians]

maximk в сообщении #1716161 писал(а):

Стало быть, моделью может быть только объект исключительно некоторой теории множеств?

Присоединяюсь к вопросу, тоже интересно.

Вообще, слово "модель" сильно перегруженное. Я понимаю так, что в контексте теории моделей, модели действительно определяются как множества. Но вообще, я не вижу никакого криминала, если считать моделями не множества. Почему бы не считать нумералы Черча (лямбда термы вида $\lambda f x . x$, $\lambda f x .f x$, $\lambda f x . f ( f x )$) и тд) + основные функции типа suc и add, моделью натуральных чисел? По-моему, нормальная идея. Конечно, можно лямбда термы собрать в множество, но зачем? Они ценны как раз тем, что в такой казалось бы бедной системе бестипового лямбда исчисления получилось смоделировать натуральные числа (не таская весь это монстроподобный аппарат теории множест).

Или почему бы не считать моделью запись? (то есть буквально взять в качестве модели натуральных чисел палочки, нарисованные на бумаге).

Еще пример. Я раньше не понимал, что такое упорядоченная пара. Я был очень рад, когда узнал определение Куратовского. Реально проверил основное свойство упорядоченных пар (то есть доказал теорему теории множеств, что $(a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a = b, c = d$.) Но это период такой у меня был, когда я был помешан на основаниях, теории множеств и т.д, искал всю эту строгость. Сейчас мне эти пары Куратовского вообще не упали никаким боком, для меня сейчас вполне достаточно определения упорядоченной пары как буквальной записи вида скобка, первый объект, запятая, второй объект, скобка. А основное свойство таких пар - это аксиоматическое свойство (а не теорема теории множеств).

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1716197 писал(а):

Или почему бы не считать моделью запись? (то есть буквально взять в качестве модели натуральных чисел палочки, нарисованные на бумаге).

Сколько палочек мне надо нарисовать, чтобы в этой модели было истинно высказывание $\forall n \, \exists m \, m = n + 1$ ?

-- 25.01.2026, 19:20 --

dgwuqtj в сообщении #1716195 писал(а):

Есть результаты, использующие аксиомы о больших кардиналах или расширения ZF, противоречащие аксиоме выбора. Но такое явно указывается.

Спасибо за уточнение.

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1716197 писал(а):

Но вообще, я не вижу никакого криминала, если считать моделями не множества.

У ТС вопрос не про содержание теории моделей, а про формальные основания математики. Обычно это ZFC, там и нумералы Чёрча, и объекты топосов, и натуральные числа, и записи являются множествами.

Если говорить про содержание, то модели у теорий первого порядка бывают и не теоретико-множественные. Стандартный пример — групповые объекты в декартовой категории являются моделями теории групп (правда, с ослабленной логикой). Но теорией моделей обычно всё-таки называют модели в категории множеств.

[warlock66613]

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1716197 писал(а):

для меня сейчас вполне достаточно определения упорядоченной пары как буквальной записи вида скобка, первый объект, запятая, второй объект, скобка

Это очень плохое определение. Так как мы не можем записать сам объект -- он не является вообще говоря записью, то приходится писать имя объекта и возникают трудности с наличием имени (имён сильно меньше, чем объектов) и неоднозначностью имени. При этом для решения этих трудностей не обязательно прибегать к моделированию пары множеством, у чего есть и свои трудности -- так, в этом случае нельзя без дополнительных ухищрений говорить о паре собственно классов, ведь классы нельзя объединять в множества. Достаточно простого аксиоматического определения.

[maximk]

Anton_Peplov в сообщении #1716193 писал(а):

maximk в сообщении #1716189 писал(а):

Так давайте и объект PA назовем множеством

В теории моделей требуются некоторые свойства множеств, например, их мощность. Классический пример - теорема Лёвенгейма: если высказывание (языка логики предикатов первого порядка с равенством) имеет бесконечную модель, то оно имеет и счетную модель. Для объектов PA, если под ними Вы разумеете числа в PA, не определено понятие мощности - во всяком случае, бесконечной.

У арифметики Пеано есть нестандартные (опять же) модели. Допустим, определим для объектов этой теории понятие мощности. Да и всех других недостающих понятий. Будет ли этого достаточно?

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1716198 писал(а):

Сколько палочек мне надо нарисовать, чтобы в этой модели было истинно высказывание $\forall n \, \exists m \, m = n + 1$ ?

А сколько значков $\varnothing$ вы для этого рисуете?

warlock66613 в сообщении #1716201 писал(а):

Так как мы не можем записать сам объект -- он не является вообще говоря записью, то приходится писать имя объекта

Да, конечно, имя объекта.

warlock66613 в сообщении #1716201 писал(а):

Это очень плохое определение.

Вряд ли уж очень плохое, проблемы с именами вполне решаемы. Но даже если бы и нет, какая разница, если это определение устраивает меня и психологически мне комфортно? Математика неизбежно очень психологична и человеко-ориентирована, это было большой моей ошибкой, считать что математика - про какие-то вечные истины, строгость и т.д. Но у меня получилось от этого вылечиться.

warlock66613 в сообщении #1716201 писал(а):

Достаточно простого аксиоматического определения.

Хм, в рамках чего? Я не очень просто понял, не прибегаем к моделированию пары множествами или не прибегаем к множествам вообще? Если первое, то как тогда ввести аксиоматически? Буквально добавить в те 8-9 аксиом ZFC что-то про пары? А если второе (то есть нету множеств), то что тогда вообще есть?