Открытые множества в n-мерном пространстве

[slavick1578]

Добрый вечер.
Решал задачку из Виноградовой под номером Т8.5. Условие такое: Доказать, что любое открытое множество в $R^n$ есть объединение не более чем счетного семейства открытых шаров. Возник вопрос в правильности доказательства.
Идея решения:
Рассмотрим произвольное открытое множество $M$. Для каждой каждой рациональной точки множества $M$ возьмем окрестность (открытый шар) такую, чтобы она входила в $M$. Вот теперь момент где у меня возник вопрос. Можно ли в дальнейшем решении использовать значение точной нижней грани множества радиусов этих окрестностей(обозначаю как $r$)? Если можно, то дальше я рассматриваю произвольную точку $x$ множества $M$ и ее окрестность с радиусом меньшим чем $r$, которая содержится внутри множества $M$. В таком случае внутри этой окрестности находим рациональную точку и получаем, что ее окрестность, уже выбранная ранее, содержит в себе эту точку $x$. Точка была выбрана произвольно, поэтому любая точка множества содержится в счетном объединении шаров. ЧТД.

Насколько такое доказательство адекватно? В ответах есть подсказка, как делать по-другому и я примерно понимаю как, но сам с ходу до того способа не дошел.

[dgwuqtj]

Возьмите множество $M = (0, 1) \subset \mathbb R$. В нём есть рациональные точки $\frac 1 n$, $n \geq 2$. У каждой такой точки наибольший открытый шар с центром в ней, содержащийся в $M$, имеет радиус $\frac 1 n$. Так что точная нижняя грань равна $0$.

[slavick1578]

dgwuqtj в сообщении #1714558 писал(а):

Возьмите множество $M = (0, 1) \subset \mathbb R$. В нём есть рациональные точки $\frac 1 n$, $n \geq 2$. У каждой такой точки наибольший открытый шар с центром в ней, содержащийся в $M$, имеет радиус $\frac 1 n$. Так что точная нижняя грань равна $0$.

Точно такое же решение в учебнике есть. Мне интересно по поводу моего решения.

[Null]

slavick1578 в сообщении #1714559 писал(а):

Мне интересно по поводу моего решения.

Это ошибка в вашем решении. $r=0$ и оно не работает.

[slavick1578]

Null в сообщении #1714562 писал(а):

slavick1578 в сообщении #1714559 писал(а):

Мне интересно по поводу моего решения.

Это ошибка в вашем решении. $r=0$ и оно не работает.

А, все я понял. Извините, что невнимательно ваше сообщение прочитал, увидел $1/n$ и сразу не про то подумал.

-- 12.01.2026, 20:33 --

dgwuqtj в сообщении #1714558 писал(а):

Возьмите множество $M = (0, 1) \subset \mathbb R$. В нём есть рациональные точки $\frac 1 n$, $n \geq 2$. У каждой такой точки наибольший открытый шар с центром в ней, содержащийся в $M$, имеет радиус $\frac 1 n$. Так что точная нижняя грань равна $0$.

А если я предположу, что существует точка $x$ из $M$, которая не содержится в пересечении шаров. Рассмотрю ее окрестность, содержащуюся в $M$ и среди всех рациональных точек, которые лежат в этой окрестности, выберу ту, шар которой содержит граничную точку $p$ наиболее близкую к $x$. Теперь рассмотрим отрезок, соединяющий $x$ и $p$. На этом отрезке тоже должна быть хотя бы одна рациональная точка. Тогда приходим к противоречию.

[mihaild]

slavick1578 в сообщении #1714564 писал(а):

Рассмотрю ее окрестность, содержащуюся в $M$ и среди всех рациональных точек, которые лежат в этой окрестности, выберу ту, шар которой содержит граничную точку $p$ наиболее близкую к $x$.

А кто сказал, что такая есть?
Возьмите $(0, 1)$, возьмите первую попавшуюся иррациональную точку $x \in (0, 1)$. И теперь для каждой рациональной точки $y$ возьмите шар радиусом примерно $|x - y| / 2$. Получится набор шаров, покрывающих все рациональные точки, но не $x$.

[slavick1578]

mihaild в сообщении #1714570 писал(а):

slavick1578 в сообщении #1714564 писал(а):

Рассмотрю ее окрестность, содержащуюся в $M$ и среди всех рациональных точек, которые лежат в этой окрестности, выберу ту, шар которой содержит граничную точку $p$ наиболее близкую к $x$.

А кто сказал, что такая есть?
Возьмите $(0, 1)$, возьмите первую попавшуюся иррациональную точку $x \in (0, 1)$. И теперь для каждой рациональной точки $y$ возьмите шар радиусом примерно $|x - y| / 2$. Получится набор шаров, покрывающих все рациональные точки, но не $x$.

Нет, я же как раз предположил, что такой точки нет и я ищу как раз рациональную точку с окресностью, край которой близок к точки $x$, но не содержит ее.

[mihaild]

slavick1578 в сообщении #1714571 писал(а):

Нет, я же как раз предположил, что такой точки нет

Ничего не понял. Вы предположили, что есть непокрытая точка $x$. Хорошо.
Теперь Вы берете какую-то точку $p$, которая граничная для какого-то шара и ближе всего к $x$ из всех граничных точек шаров. Кто Вам сказал, что среди граничных точек шаров есть ближайшая к $x$?
(и я Вам привел пример, когда нету)