О одном дифференциальном уравнении

[Red_Herring]

pan555 в сообщении #1713546 писал(а):

если и решить задачу для центральносимметрического случая

Что такое центально-симметрический случай? Если речь идет о центральной симметрии т.е. $F(x,y,z)=F(-x,-y,-z)$, почему бы и нет? Только решений будет очень много. А вот если речь идет о сферической симметрии, т.е. о симметрии по отношению к вращениям, то решений будет очень мало, потому что само уравнение такой симметрией не обладает. Если б у вас было бигармоническое уравнение в главной части, то задача была бы разумной.

[пианист]

pan555
Если я правильно понял, что Вы хотите.
Самое простое - искать инвариантное для группы симметрий уравнения решение. Но у Вашего уравнения навскидку ничего не видно, кроме сдвигов и растяжения по $F$. Из такой группы ничего хорошего не слепишь. Не исключено, что у уравнения есть еще какие-то неочевидные симметрии, но, чтобы их найти, надо решать определяющие уравнения.
Можно, конечно, попробовать подбирать анзатц решения наудачу.
Да, и это все про левую часть. Что там у Вас справа, я вообще не знаю.

[pan555]

пианист в сообщении #1713552 писал(а):

pan555
Если я правильно понял, что Вы хотите.
Самое простое - искать инвариантное для группы симметрий уравнения решение. Но у Вашего уравнения навскидку ничего не видно, кроме сдвигов и растяжения по $F$. Из такой группы ничего хорошего не слепишь. Не исключено, что у уравнения есть еще какие-то неочевидные симметрии, но, чтобы их найти, надо решать определяющие уравнения.
Можно, конечно, попробовать подбирать анзатц решения наудачу.
Да, и это все про левую часть. Что там у Вас справа, я вообще не знаю.

Данная задача мне представляется аналогом уравнения Пуассона с правой частью в виде константы для центральносимметричного случая. Там решением,если я не ошибаюсь,является функция Грина.Правильно ?
Так вот,мне представляется,что и для рассматриваемого уравнения есть что то подобное.
Или я не прав ?
Р.с.
Справа у меня константа.

-- 29.12.2025, 14:09 --

Red_Herring в сообщении #1713551 писал(а):

pan555 в сообщении #1713546 писал(а):

если и решить задачу для центральносимметрического случая

Что такое центально-симметрический случай? Если речь идет о центральной симметрии т.е. $F(x,y,z)=F(-x,-y,-z)$, почему бы и нет? Только решений будет очень много. А вот если речь идет о сферической симметрии, т.е. о симметрии по отношению к вращениям, то решений будет очень мало, потому что само уравнение такой симметрией не обладает. Если б у вас было бигармоническое уравнение в главной части, то задача была бы разумной.

Мне кажется, что в определенном смысле предложенное мною уравнение можно считать частным случаем бигармонического уравнения. Ну так,на первый взгляд..

[Red_Herring]

pan555 в сообщении #1713554 писал(а):

Мне кажется, что в определенном смысле предложенное мною уравнение можно считать частным случаем бигармонического уравнения

А мне кажется что вам следует посмотреть в учебнике, что такое бигармоническое / полигармоническое уравнение.

[пианист]

pan555 в сообщении #1713554 писал(а):

Данная задача мне представляется аналогом уравнения Пуассона с правой частью в виде константы для центральносимметричного случая. Там решением,если я не ошибаюсь,является функция Грина.Правильно ?

Причем центральная симметрия, не понял. С помощью функций Грина решается, например, задача Дирихле для уравнения Пуассона.

pan555 в сообщении #1713554 писал(а):

Так вот,мне представляется,что и для рассматриваемого уравнения есть что то подобное.
Или я не прав ?

Функция Грина для корректно поставленной задачи для Вашего уравнения, видимо, существует (точно не скажу - некопенгаген). Но совершенно не факт, что ее можно выписать в б-м компактном виде (как для уравнения Пуассона) .

[pan555]

Red_Herring в сообщении #1713570 писал(а):

pan555 в сообщении #1713554 писал(а):

Мне кажется, что в определенном смысле предложенное мною уравнение можно считать частным случаем бигармонического уравнения

А мне кажется что вам следует посмотреть в учебнике, что такое бигармоническое / полигармоническое уравнение.

Согласен.
Благодарю за совет.
Может быть,подскажете литературу,где подробно рассмотрены такие уравнения и их решения ?

[Red_Herring]

Что вас интересует? Решение во всем пространстве? Здесь все просто: поскольку коэффициенты постоянны, то фундаментальное решение выписывается через лестницу Хермандера (эллиптические операторы с постоянными коэффициентами). Ищите через ИИ . Можно строить через преобразование Фурье, но надо обходить сингулярности путем перехода в комплексные переменные в интеграле Фурье. А сингулярности здесь будут. Что мы имеем
\begin{gather*} K \iiint (\xi^4+\eta^4+\zeta^4 - \xi^2 -\eta^2-\zeta^2)^{-1} e^{i\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{\xi}} \,d\xi d\eta d\zeta\\\\ =K\iint_{\mathbb{S}^2} \int_0^\infty \Bigl(r^2(\xi^4+\eta^4+\zeta^4) -1\Bigr)^{-1} e^{ir\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{\xi}} \,dr\,d\sigma \end{gather*}
это можно проинтегрировать по $r$ и получится интеграл по сфере. Будет от этого польза?--не уверен

[pan555]

Red_Herring
Благодарю за совет.
Поищу.

[pan555]

Благодарю всех участников данной дискуссии.
Нашёл наименования подходящей литературы.
Заказал.
Буду разбираться.

[pan555]

Всех с Новым Годом!
Здоровья и удачи!