Одноточечное множество замкнуто?

[cxzbsdhwert]

Лектор утверждает что одноточечное множество - замкнуто.

Если исходить из определения замкнутого множества, как такого, дополнение к которому открыто, то утверждение верно.

На предыдущей лекции была теорема о том, что утверждение о том, что множество замкнуто равносильно, среди прочего, утверждению о том, что множество содержит все свои предельные точки.

Предельная точка была определена как элемент подмножества $E \subset \mathbb R$, пересечение любой окрестности которого с $E$ является бесконечным множеством.
Также была теорема, о том, что точка предельна, если пересечение её любой выколотой окрестности с $E$ непусто.

Утверждение о том, что множество из одной точки замкнуто противоречит либо определениям предельной точки, либо теореме, утверждающей что замкнутое множество содержит все свои предельные точки, или я что-то не понимаю?

Можно было бы предположить, что одноточечное множество не имеет предельной точки вообще, значит множество его предельных точек пустое множество, ну и одноточечное множество содержит его, так как любое множество содержит пустое, но предельная точка определяется не через принадлежность множеств, а через пересечение (окрестности и множества), которое должно быть непусто или даже бесконечно.

[mihaild]

Так а где противоречие-то? Да, множество предельных точек одноэлементного (и любого конечного) множества пусто. Соответственно любое одноэлементное множество содержит все свои предельные точки (которых нет), и, значит, замкнуто.

cxzbsdhwert в сообщении #1713246 писал(а):

так как любое множество содержит пустое

Так говорить нехорошо, лучше "содржит пустое в качестве подмножества". Потому что обычно "содержит" означает "содержит в качестве элемента", и тогда это неправда.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1713247 писал(а):

Так а где противоречие-то? Да, множество предельных точек одноэлементного (и любого конечного) множества пусто. Соответственно любое одноэлементное множество содержит все свои предельные точки (которых нет), и, значит, замкнуто.

Да, пока Вы ответили, уже понял, что соображения были верными, я просто критерий пересечения, который относится к определению предельной точки перенёс ещё и на утверждение о том что замкнутое множество содержит свои предельные точки.
То есть наверное неявно трактовал, это как то, что пересечение замкнутого множества со множеством своих предельных точек должно быть непусто.
Ну, это в общем-то так, кроме тривиального случая, который имел место в этой лекции.

Обобщенно, наверное, можно утвердить, что множество является собственным подмножеством, если его пересечение с надмножеством совпадает с ним (подмножеством). И тогда для пустого множества тоже можно говорить о принадлежности, через пересечение.

mihaild в сообщении #1713247 писал(а):

Так говорить нехорошо, лучше "содржит пустое в качестве подмножества". Потому что обычно "содержит" означает "содержит в качестве элемента", и тогда это неправда.

Да, ошибся

[Mikhail_K]

cxzbsdhwert в сообщении #1713246 писал(а):

но предельная точка определяется не через принадлежность множеств, а через пересечение (окрестности и множества), которое должно быть непусто или даже бесконечно

Всё правильно. В случае с одноточечным множеством никакая точка не удовлетворяет определению предельной точки, так что их просто нет. Значит, множество содержит все свои предельные точки (их количество $0$). Это звучит немного парадоксально, но на языке подмножеств звучит лучше: множество всех предельных точек (пустое) есть подмножество нашего одноточечного множества.

Вообще, в математике любое утверждение вида $\forall x\in\varnothing,\,\ldots$ считается автоматически верным. И такая ситуация возникает в самых разных контекстах и в самых разных разделах математики и всегда работает одинаково. Её можно проиллюстрировать утверждением "Все динозавры на Марсе красные". Это утверждение верное; а если кто-то думает, что оно неверно, пусть покажет контрпример - некрасного динозавра, живущего на Марсе. Раз контрпримеров нет, значит утверждение верно. Конечно, точно так же верно то, что "все динозавры на Марсе зелёные", "все динозавры на Марсе НЕ красные" и т.д. Причём тут нет противоречия. Оно получилось бы, если бы на Марсе нашёлся хотя бы один динозавр, тогда согласно одному утверждению он был бы красным, согласно другому зелёным, согласно третьему некрасным - и было бы противоречие. Но на Марсе динозавров нет, а с ними нет и противоречия между утверждениями.

Также это удобно понять, взяв отрицание от утверждения $\forall x\in\varnothing,\,\ldots$. По правилам построения таких отрицаний получится точно неверное утверждение $\exists x\in\varnothing:\,\,\,{\textrm{НЕ}}\,\,\ldots$ - оно неверно, так как в пустом множестве точно не существует никакого $x$. Значит, исходное утверждение $\forall x\in\varnothing,\,\ldots$ верно.

[cxzbsdhwert]

Mikhail_K в сообщении #1713249 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713246 писал(а):

но предельная точка определяется не через принадлежность множеств, а через пересечение (окрестности и множества), которое должно быть непусто или даже бесконечно

Всё правильно. В случае с одноточечным множеством никакая точка не удовлетворяет определению предельной точки, так что их просто нет. Значит, множество содержит все свои предельные точки (их количество $0$). Это звучит немного парадоксально, но на языке подмножеств звучит лучше: множество всех предельных точек (пустое) есть подмножество нашего одноточечного множества.

Вообще, в математике любое утверждение вида $\forall x\in\varnothing,\,\ldots$ считается автоматически верным. И такая ситуация возникает в самых разных контекстах и в самых разных разделах математики и всегда работает одинаково. Её можно проиллюстрировать утверждением "Все динозавры на Марсе красные". Это утверждение верное; а если кто-то думает, что оно неверно, пусть покажет контрпример - некрасного динозавра, живущего на Марсе. Раз контрпримеров нет, значит утверждение верно. Конечно, точно так же верно то, что "все динозавры на Марсе зелёные", "все динозавры на Марсе НЕ красные" и т.д. Причём тут нет противоречия. Оно получилось бы, если бы на Марсе нашёлся хотя бы один динозавр, тогда согласно одному утверждению он был бы красным, согласно другому зелёным, согласно третьему некрасным - и было бы противоречие. Но на Марсе динозавров нет, а с ними нет и противоречия между утверждениями.

Также это удобно понять, взяв отрицание от утверждения $\forall x\in\varnothing,\,\ldots$. По правилам построения таких отрицаний получится точно неверное утверждение $\exists x\in\varnothing:\,\,\,{\textrm{НЕ}}\,\,\ldots$ - оно неверно, так как в пустом множестве точно не существует никакого $x$. Значит, исходное утверждение $\forall x\in\varnothing,\,\ldots$ верно.

Да, лектор ранее об этом говорил, при чём приводя по-моему буквально такой же пример (с Марсианской фауной). Просто надо было ещё немного подумать.