Открытое множество объединение лишь непересекающихся инт-лов

[cxzbsdhwert]

Определение: открытое множество - множество, для любого элемента которого существует ненулевая окрестность принадлежащая множеству.

Теорема: любое открытое множество есть либо $\mathbb R$ либо пустое множество, либо объединение не более чем счётного множества попарно непересекающихся интервалов.
Формулировка теоремы звучит как издевательство.

Вопрос 1: Из теоремы следует, что объединение попарно пересекающихся интервалов это не открытое множество что ли? $(0,1)\neq (0,0.6) \cup (0.5, 1)$ ? Ответ - "нет не следует, потому что теорема не утверждает чем открытое множество не является"?

Вопрос 2: И о чём вообще теорема? О том что интервалы - это только "цельные" открытые множества то есть их частный случай, а само понятие более общно охватывает в том числе разделённые множества, считая их объединение одним открытым множеством?
Или всё хитрее, и имеется в виду что один неразделённый интервал как-то можно представить объединением разделённых (то есть попарно непересекающихся)?

[mihaild]

Более строго теорема формулируется так: для любого непустого открытого множества существует не более чем счетная система попарно непересекающихся интервалов, объединением которых является это множество.

cxzbsdhwert в сообщении #1713124 писал(а):

Ответ - "нет не следует, потому что теорема не утверждает чем открытое множество не является"?

Да. Теорема говорит, что открытые множества можно представить в таком виде, но ничего не говорит про другие виды.

cxzbsdhwert в сообщении #1713124 писал(а):

И о чём вообще теорема?

О том, что любое множество можно "собрать" из интервалов.

cxzbsdhwert в сообщении #1713124 писал(а):

и имеется в виду что один неразделённый интервал как-то можно представить объединением разделённых (то есть попарно непересекающихся)?

Этого она не говорит, и это неправда. Докажите, что нельзя $(0, 2)$ представить в виде объединения $(0, 1)$ и не пересекающихся с ним интервалов.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1713126 писал(а):

О том, что любое множество можно "собрать" из интервалов.

Вы имели в виду любое открытое можно "собрать" из интервалов?

mihaild в сообщении #1713126 писал(а):

Докажите, что нельзя $(0, 2)$ представить в виде объединения $(0, 1)$ и не пересекающихся с ним интервалов.

Нельзя потому что $1 \in (0, 2)$; $1 \notin (0,1)$; $(0,1)$ содержит любую окрестность единицы "слева", не содержит единицы и не содержит никакой окрестности единицы "справа". Любой интервал содержащий единицу по определению содержит хотя бы какую-то её окрестность целиков (и слева и справа и саму единицу).
Тогда любой интервал содержащий единицу будет пересекаться с интервалом $(0,1)$ в части "левого края" окрестности единицы. Тогда любой интервал содержащий единицу пересекающийся с $(0,1)$.
Остаются только интервалы не содержащие единицу, но тогда их объединение с $(0,1)$ не будет содержать единицу, а значит не будет несобственным (равным) подмножеством $(0,2)$.

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1713131 писал(а):

Вы имели в виду любое открытое можно "собрать" из интервалов?

Да, так.

cxzbsdhwert в сообщении #1713131 писал(а):

Остаются только интервалы не содержащие единицу, но тогда их объединение с $(0,1)$ не будет содержать единицу, а значит не будет несобственным (равным) подмножеством $(0,2)$.

Ага, правильно.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1713135 писал(а):

Да

Спасибо за объяснение. Не понятно, правда, почему это аж теорема, не лемма и даже не предложение, но ладно, может дальше станет понятно.

[пианист]

cxzbsdhwert в сообщении #1713137 писал(а):

Не понятно, правда, почему это аж теорема, не лемма и даже не предложение

Потому что она дает полное точное описание того, как устроены все открытые множества в $\mathbb R$.

[Someone]

cxzbsdhwert в сообщении #1713137 писал(а):

Не понятно, правда, почему это аж теорема, не лемма и даже не предложение

А это как автору текста вздумается, так он и назовёт. Под леммой обычно понимается утверждение, которое автор считает вспомогательным (в его тексте), под теоремой — основное (в данном тексте). И есть ещё несколько слов, которые могут использоваться для именования утверждений. В общем, это всё никак не формализовано.
А в данном случае утверждение выглядит как самоценный результат, и почему бы его не назвать теоремой… (кстати, Вам уже это написали).

[Mikhail_K]

cxzbsdhwert в сообщении #1713124 писал(а):

Теорема: любое открытое множество есть либо $\mathbb R$ либо пустое множество, либо объединение не более чем счётного множества попарно непересекающихся интервалов.

Формулировка теоремы несколько кривовата.
Строго говоря, есть ещё открытые лучи типа $(-\infty,a)$ или $(a,+\infty)$ - они открытые множества, но их не собрать из непересекающихся интервалов. И объединения этих лучей с интервалами.

Вероятно, автор просто считает такие лучи интервалами, тогда формулировка верна (но в тексте должно быть где-нибудь замечание об этом).
Но тогда и всю $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$ тоже естественно считать интервалом, а не выделять в отдельный случай ("либо $\mathbb{R}$, либо пустое множество, либо объединение...")
(Пустое множество тоже можно не упоминать - оно объединение пустого множества непересекающихся интервалов - но тут я не придираюсь, упомянуть его тоже вполне естественно.)

С другой стороны, может, теорема формулируется с прицелом на разговор о базе топологии в дальнейшем, а такая формулировка (с явным упоминанием $\mathbb{R}$ и $\varnothing$) служит подведением к изложению аксиом топологии. Тогда понятно.