Материальные ур-ния для элек-ких полей через диффер. k-формы

[Divergence]

Материальные уравнения для электрических полей описываются на языке внешних дифференциальных форм

$$ {\bf D} \, = \, \varepsilon \, \star {\bf E} , $$

где $\star $- звездный оператор Ходжа, и $\varepsilon $- диэлектрическая проницаемость среды,

$$ {\bf E}\, = \, E_x({\bf x})\, dx \, + \, E_y({\bf x})\, dy \, + \, E_z({\bf x})\, dz , $$

$$ {\bf D} \, = \, D_x({\bf x})\, dy \wedge dz \, + \, D_y({\bf x})\, dz \wedge dx \, + \, D_z({\bf x})\, dx \wedge dy , $$

Подробности в статье Warnick, K.F., Russel P., Differential forms and electromagnetic field theory. Progress In Electromagnetics Research. 2014. Vol.148. P.83-112.
https://www.jpier.org/issues/volume.html?paper=14063009

Материальное уравнение ${\bf D} \, = \, \varepsilon \, \star {\bf E}$ видимо описывает только изотропный случай.

Вопрос: А как на языке дифференциальных форм, описывается анизотропный случай?
Подскажите, пожалуйста, статью или книгу где это написано на рус. или англ.
ИИ выдает ответ, но ссылок на статьи нет.

[Red_Herring]

Ссылок я тоже не знаю. То же самое, только $\varepsilon$ симметрический тензор. В Куранте "Уравнения с частными производными" есть анализ уравнений кристаллооптики

[Divergence]

Меня смущает ответ ИИ.
Для анизотропного случая ИИ утверждает, что материальные уравнение имеет вид

$$ {\bf D} \, = \, (\star \, \varepsilon) \, \wedge {\bf E} , $$

где ${\bf D}$ и ${\bf E}$ - это 2-формa и 1-форма соотвестенно, как описано выше,
и $\varepsilon$ - это 2-форма.
Значит диэлектрическая проницаемость среды должна описываться 2-формой

$$ \varepsilon \, = \, \varepsilon_{yz} ({\bf x})\, dy \wedge dz \, + \, \varepsilon_{zx}({\bf x})\, dz \wedge dx \, + \, \varepsilon_{xy}({\bf x})\, dx \wedge dy , $$

то есть антисимменричным тензором $\varepsilon_{kl}=-\varepsilon_{lk}$.

Однако, обычно диэлектрическая проницаемость среды является симметричным тензором второго ранга в анизотропных средах.

Red_Herring Спасибо за ссылку, но мне интересен именно язык дифференциальных k-форм.

[Red_Herring]

Divergence в сообщении #1711789 писал(а):

Значит диэлектрическая проницаемость среды должна описываться 2-формой

которая явно неправильна: посмотрите хотя бы случай изотропной среды, где эта формула дает 0. Т.е. либо ИИ врет, либо вы его ответ неправильно интерпретируете.

Исходите из формулы

$$ \int \varepsilon \mathbf{E}\cdot \mathbf{E} dV = \int \mathbf{D}\wedge \mathbf{E}, $$

и тогда $\mathbf{D} = \star (\varepsilon \mathbf{E})$.

[Divergence]

Спасибо за ответ.

1) Скобки я поставил. В ответе ИИ без скобок

$$ {\bf D} \, = \, \star \, \varepsilon \, \wedge {\bf E} . $$

Поставил скобки, чтобы совпадали ранги дифференциальных форм: $\varepsilon$ - это 2-форма, тогда $\star \, \varepsilon$ - это 1-форма, ${\bf E}$ - это 1-форма, тогда $(\star \, \varepsilon) \, \wedge {\bf E}$ - это 2-форма, что совпадает с рангом 2-формы ${\bf D}$.

2) ИИ выдал еще и другую формулу

$$ {\bf D} \, = \, \star \, (\varepsilon \, \wedge\star {\bf E}) , $$

которая, по моему, не верна, поскольку не совпадение рангов дифференциальный форм (здесь скобки поставлены ИИ).

3) В вашей формуле не непонятно произведение $\varepsilon \, {\bf E}$, поскольку это дифференциальные формы 2-го и 1-го рангов.
Видимо, для совпадения рангов, надо полагать, что $\varepsilon \, {\bf E}$ -это 1-форма

$$ \varepsilon \, {\bf E}\, = \, \sum^3_{j=1}\varepsilon_{ij} \,E_j({\bf x})\, dx^i . $$