Три подмножества

[Pythagoras]

$M$ - множество из 10 элементов. $A_1$, $A_2$, $A_3$ - пятиэлементные подмножества M. Доказать, что существуют $x$ и $y$ из $M$ такие, что каждое из множеств $A_1$, $A_2$, $A_3$ содержит ровно один из них.

Я думал так: для каждого из 10 элементов заведём вектор длины 3 из нулей и единиц, которые обозначают, принадлежит ли этот элемент множеству $A_i$. Тогда для каждого из восьми возможных векторов есть парный - побитовое отницание. В рамках противного предположения из каждой такой пары может быть использован максимум один вектор. Значит, всего встречается не более 4 векторов. Следовательно, какой-то вектор встречается хотя бы три раза.

Кажется, где-то тут есть противоречие, но я пока не вижу его. Прошу подсказку.

[Null]

Pythagoras в сообщении #1711283 писал(а):

В рамках противного предположения из каждой такой пары может быть использован максимум один вектор.

Это может быть один и тот же элемент пары и противоречия не будет

[Pythagoras]

Null в сообщении #1711291 писал(а):

Это может быть один и тот же элемент пары и противоречия не будет

Вы имеете в виду, что сама задача ошибочна? Или что ошибочен мой вывод "всего встречается не более 4 векторов"? Если что, я подразумевал "всего встречается не более 4 различных векторов".

[mihaild]

Pythagoras в сообщении #1711283 писал(а):

Следовательно, какой-то вектор встречается хотя бы три раза

Этого недостаточно. Если все три множества совпадают, например, то будет вообще всего 2 различных вектора.
Но обратите внимание на следующее:
1. Сумма всех векторов равна нулю.
2. У нас есть 4 пары типов векторов: $(1, 1, 1),\ (-1, -1, -1)$; $(1, 1, -1),\ (-1, -1, 1)$ и т.д., причем из каждой пары встречается только один тип векторов (либо ни одного). Обозначьте за $x_1$ число векторов $(1, 1, 1)$, если они есть, и минус число векторов $(-1, -1, -1)$ если есть они. Аналогично для остальных типов. Выразите сумму всех векторов через $x_i$.

[TOTAL]

1. Если первое множество имеет больше пяти пересечений с другими, то существует элемент, входящий во все множества и элемент, не входящий никуда.
2. Если первое множество имеет меньше пяти пересечений с другими, то существует элемент, входящий только в первое множество, и элемент, входящий только во второе и третье.
3. Если первое множество имеет ровно пять пересечений с другими, т.е. более двух пересечений со вторым, то существует элемент, входящий только в первое и второе множество, и элемент, входящий только в третье множество.

[lel0lel]

Условие задачи также будет верным, если положить $|M|=2k$, а мощность подмножеств $2s+1$, где $\lfloor\frac{3(s+1)}{2}\rfloor\leq k\leq 3 s+1$. И только в этих случаях.