Задачка на кольца полиномов

[Dedekind]

Доказать, что для любых целых положительных $n, m$: $x+(n-1)$ является делителем $x^m + (n-1)$ в $\mathbb{Z}_n[x]$ (кольцо полиномов с коэффициентами из $\mathbb{Z}_n$).

Я делал через деление столбиком. Но есть ли какой-то другой метод?

[Null]

Теорема Безу же. Эта делимость эквивалетна тому что $(1-n)^m+n-1\equiv 0 \pmod n$

[Dedekind]

Null
Да, так тоже можно, спасибо. Но в учебнике это упражнение идет до теоремы Безу. Есть ли еще какие-то варианты?

[Null]

$x^m-1$ делиться на $x-1$, не знаю что еще можно придумать.

[nnosipov]

Dedekind в сообщении #1711128 писал(а):

Но в учебнике это упражнение...

Поделитесь, что за учебник. Любопытно, где занимаются делимостью в кольцах с делителями нуля.

[Dedekind]

Null в сообщении #1711143 писал(а):

$x^m-1$ делиться на $x-1$, не знаю что еще можно придумать.

А вот это неплохо, спасибо:) Почему-то не подумал об этом.

nnosipov в сообщении #1711161 писал(а):

Поделитесь, что за учебник. Любопытно, где занимаются делимостью в кольцах с делителями нуля.

Учебник Pinter C., "A Book of Abstract Algebra", второе издание. Глава 24, упражнение А5. Но мне кажется слова "занимаются делимостью" слишком громкие для него. Это элементарный вводный учебник для теории Галуа, никаких особых глубин теории колец там нет, и упражнение это дается просто мимоходом.

-- 30.11.2025, 15:37 --

Null в сообщении #1711143 писал(а):

$x^m-1$ делиться на $x-1$, не знаю что еще можно придумать.

Кстати, чтобы два раза не вставать и не открывать отдельную тему. Я же правильно понимаю, что если один многочлен делится на другой в $\mathbb{Z}[x]$, то он же будет делиться на него же и в любом $\mathbb{Z}_n[x]$? А наоборот уже не верно.

[dgwuqtj]

Dedekind в сообщении #1711203 писал(а):

Я же правильно понимаю, что если один многочлен делится на другой в $\mathbb{Z}[x]$, то он же будет делиться на него же и в любом $\mathbb{Z}_n[x]$?

Да, всё так.

[Null]

Если делитель не обнуляется.

[dgwuqtj]

Null в сообщении #1711240 писал(а):

Если делитель не обнуляется.

Это не имеет значения: если $P(x) \mid Q(x)$ в $\mathbb Z[x]$ и $P(x) \bmod n = 0$, то $Q(x) \bmod n = 0$ и тогда $(P(x) \bmod n) \mid (Q(x) \bmod n)$ в $\mathbb Z_n[x]$. По определению, нуль делит сам себя.

[Dedekind]

dgwuqtj
Спасибо!