Простейшие интегралы

[junge]

Здесь я предлагаю всем спрашивать, как решаются интегралы простейшего вида. Например, такие:

$$\int \frac 1 {x \sqrt{x^2+1}} dx$$

(1)

$$\int \frac 1 {x \sqrt{x^2-1}} dx$$

(2)

$$\int \frac 1 {\left(x^2+1\right)^{\frac 3 2}} dx$$

(3)

$$\int \frac 1 {\left(x^2-1\right)^{\frac 3 2}} dx$$

(4)

Значит так, первые два я взял, делал подстановку $\sqrt{\dots}=t-1$. Получились правильные выражения (я проверял производной), но с ответом в "Демидовиче" не сошлось.

И, люди, помогите, пожлуйста, в том, как вообще брать интегралы, а то я в этом деле новичок и совсем не догоняю как это делать ...

[Архипов]

junge в сообщении #170158 писал(а):

И, люди, помогите, пожлуйста, в том, как вообще брать интегралы, а то я в этом деле новичок и совсем не догоняю как это делать ...

Есть "табличные интегралы" в учебниках, а по этой ссылке - "простейшие" интегралы... Догоняйте...
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/auxiliary/aux-integrals.htm

[junge]

Архипов писал(а):

Есть "табличные интегралы" в учебниках, а по этой ссылке - "простейшие" интегралы... Догоняйте...
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/auxiliary/aux-integrals.htm

Ну и зачем вы мне эти ссылки дали?.. Эти формулы я могу и в ответах "Демидовиа" найти. Я же хочу разобраться, какая замена там была произведена...

[Someone]

junge в сообщении #170158 писал(а):

Здесь я предлагаю всем спрашивать, как решаются интегралы простейшего вида.

А Вы будете на эти вопросы отвечать?

junge в сообщении #170158 писал(а):

Получились правильные выражения (я проверял производной), но с ответом в "Демидовиче" не сошлось.

Мало ли, почему они не сошлись. С интегралами это часто бывает: вычисляешь разными способами, и получаются непохожие выражения. Например, если в первом Вашем интеграле сделать подстановку $\sqrt{x^2+1}=t$, то получится

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\frac 12\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\right|+C\text{,}$$

подстановка $\sqrt{x^2+1}=tx+1$ даст

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-1}x\right|+C\text{,}$$

а $\sqrt{x^2+1}=x+t$ - вообще

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-x-1}{\sqrt{x^2+1}-x+1}\right|+C\text{.}$$

junge в сообщении #170158 писал(а):

И, люди, помогите, пожлуйста, в том, как вообще брать интегралы

Как "вообще" брать интегралы - кто их знает. Если конкретные вопросы есть - смотрите в учебнике или спрашивайте. Например, в двух последних Ваших интегралах можно применить подстановки, аналогичные моей третьей подстановке, или применить подстановку $t=(\sqrt{x^2\pm 1})'$, или ещё какую-нибудь; есть способ, использующий интегрирование по частям...

[junge]

Someone в сообщении #170170 писал(а):

А Вы будете на эти вопросы отвечать?

Буду, мне интересно

Someone в сообщении #170170 писал(а):

есть способ, использующий интегрирование по частям

Что-то мне подсказывает, что интегрирование по частям ничего не даст ...

[Brukvalub]

junge в сообщении #170167 писал(а):

Ребята, мне лень закачивать файл. Пишите условия задач, и я вам помогу...

junge в сообщении #170158 писал(а):

Здесь я предлагаю всем спрашивать, как решаются интегралы простейшего вида.

И этот "помощничек" берется помогать решать задачи из 38-и билетов для неучей? Тоже мне, бригада "911"
Ржунимогу!!!

[GAA]

junge писал(а):

Я же хочу разобраться, какая замена там была произведена...

Если хотите разобраться, то читайте учебники, например:
[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. — М.: Наука, 1962. Также, можно свободно скачать с EqWorld.
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. — М.: Наука, 1982. Также, можно скачать с newlibrary.

junge писал(а):

Что-то мне подсказывает, что интегрирование по частям ничего не даст ...

Взятие интегралов (3) и (4) интегрированием по частям — самый доступный*) и один из самых простых (наряду с тригонометрическими / гиперболическими заменам). Так, что Ваша фраза мне говорит о том, что учебник Вы внимательно не читали.

Если хотите разобраться, то запишите рекуррентную формулу для вычисления

$$\int \frac 1 {\left(x^2+1\right)^{\frac {2m+1} 2}} dx$$

, $m=1, 2, 3,\ldots$. (3*)
_______________________________
*) Например, тему «Другие способы интегрирования квадратичной иррациональности», в которую входит подстановка Абеля, изучают только на математических специальностях; интегрирование биномиального дифференциала — не на всех специальностях; даже подстановки Эйлера на некоторых специальностях могут не проходить, а интегрированием по частям этот интеграл берут все.

[bot]

Brukvalub в сообщении #170196 писал(а):

И этот "помощничек" берется помогать решать задачи из 38-и билетов для неучей?

Сомнительно, чтобы он на свои извилины расчитывал - скорее на свой талант манагера.

[junge]

GAA в сообщении #170209 писал(а):

Если хотите разобраться, то читайте учебники

В учебниках ничего не написано. На самом деле я учил всё по Смирнову.[1] долго читать ...

GAA в сообщении #170209 писал(а):

junge писал(а):

Что-то мне подсказывает, что интегрирование по частям ничего не даст

Взятие интегралов (3) и (4) интегрированием по частям...

Вообще-то я имел в виду интегралы (1), (2)...

А рекуррентная формула будет:

$$\int \frac 1 {\left(x^2+1\right)^{\frac {2m+1} 2}} dx=\frac x {(2m-1) \left(x^2+1\right)^{\frac {2m-1} 2}}+(2m-2)\int \frac 1 {\left(x^2+1\right)^{\frac {2m-1} 2}} dx$$

,
правильно?

bot
кто такой манагер?

И вообще, почему вы подумали, что я физик?

[bot]

junge в сообщении #170969 писал(а):

bot
кто такой манагер?

Манагер = manager.

Цитата:

И вообще, почему вы подумали, что я физик?

А почему Вы подумали, что я о чём то подумал? Количества Ваших постов явно недостаточно для такого предположения, а по Вашей аватаре я мог бы предположить, что Вы любитель астрономии или абстрактной живописи, но и для такого предположения данных явно маловато.

Цитата:

А рекуррентная формула будет: ...

Нет - проверьте дифференцированием. Вообще-то технически проще понижать степень в интеграле $\int \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ не предполагая n натуральным. Тогда в частном случае $n=m+\frac{1}{2}$ получите требуемое.
Ещё проще с технической стороны рассмотреть интеграл $\int (1+x^2)^n dx$ не прпедполагая n целым, применить интегрирование по частям, а там уже смотреть, в зависимости от знака n, в какую сторону применять полученное - слева направо или наоборот.

[Danila88]

Someone пишет:

"Мало ли, почему они не сошлись. С интегралами это часто бывает: вычисляешь разными способами, и получаются непохожие выражения. Например, если в первом Вашем интеграле сделать подстановку $\sqrt{x^2+1}=t$, то получится

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\frac 12\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\right|+C\text{,}$$

подстановка $\sqrt{x^2+1}=tx+1$ даст

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-1}x\right|+C\text{,}$$

а $\sqrt{x^2+1}=x+t$ - вообще

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-x-1}{\sqrt{x^2+1}-x+1}\right|+C\text{.}$$

"


Эти выражения эквивалентны (скорее всего), просто надо провести преобразования, чтобы это увидеть. Этот интеграл "относится" к разделу "интеграл от дифференциального бинома" (в том же Демидовиче "краткое описание" есть)

[Someone]

Конечно, эти выражения эквивалентны, то есть, написанные функции отличаются на постоянное слагаемое. Но бывают более сложные случаи. Рассмотрим, например,

$$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctg x+C$$

и сделаем в нём замену переменной $t=\frac{2x}{1-x^2}$. Легко вычислить, что $dt=\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}dx$, откуда $dx=\frac{(1-x^2)^2}{2(1+x^2)}dt$, и $1+t^2=\frac{(1+x^2)^2}{(1-x^2)^2}$, откуда $\frac 1{1+x^2}=\frac{1+x^2}{(1+t^2)(1-x^2)^2}$. Подставляя всё в интеграл, получим

$$\int\frac{dx}{1+x^2}=\int\frac{1+x^2}{(1+t^2)(1-x^2)^2}\frac{(1-x^2)^2}{2(1+x^2)}dt=\frac 12\int\frac{dt}{1+t^2}=\frac 12\arctg t+C=\frac 12\arctg\frac{2x}{1-x^2}+C\text{.}$$

В этом примере уже неверно, что два полученных выражения отличаются на постоянное слагаемое (сравните величину $\arctg x-\frac 12\arctg\frac{2x}{1-x^2}$ при $x=0$ и при $x=\sqrt{3}$). Более того, при вычислении определённого интеграла применение второго метода может дать неправильный результат, если использовать формулу Ньютона - Лейбница бездумно.

P.S. Методы цитирования на форуме объясняются здесь: http://dxdy.ru/topic11877.html.

[junge]

Danila88 в сообщении #171092 писал(а):

(в том же Демидовиче "краткое описание" есть)

У меня 9-е издание Демидовича (1977), может, у меня не то издание?

bot в сообщении #171077 писал(а):

Цитата:А рекуррентная формула будет: ...

Нет - проверьте дифференцированием.

Понял свою ошибку: там вместо $...(2m-2)\int...$ надо написать $...\frac{2m-2}{2m-1}\int...$.

[Nxx]

Цитата:

Более того, при вычислении определённого интеграла применение второго метода может дать неправильный результат, если использовать формулу Ньютона - Лейбница бездумно.

Значит, второй вариант просто неправильный (правильный только на отдельных отрезках, но не для всей функции)

[Someone]

Nxx в сообщении #174033 писал(а):

Значит, второй вариант просто неправильный (правильный только на отдельных отрезках, но не для всей функции)

Если бы дело обстояло так просто... А то почему-то именно "неправильные" подстановки и рекомендуют (например, универсальную тригонометрическую подстановку).