Отношения внешнего и "обычного" дифференциалов

[Yuichi196883]

На втором курсе университета, в третьем семестре мы проходили гладкие многообразия и дифференциальные формы, но при этом, нотация с первого курса (там у нас были классические дифференциалы, и высшие в том числе, обозначались через $d$) не поменялось, бывали такие ситуации, что приходилось в рамках одной задачи использовать и внешний и обычный дифференциалы, что приводило к путанице у многих студентов (у меня в том числе). Почему в современных курсах анализа на многообразиях никто не разделяет нотацию для обычного дифференциала и внешнего во избежании путаницы? Более того, часто бывает так, что обычный дифференциал интерпретируют просто как разновидность нотации, что $dx$ это просто такой значок, хотя при этом давно уже существует теория касательных пространств высшего порядка $T^pM$, которая позволяет полностью формализовать те же высшие дифференциалы (например для $f\colon M\to\mathbb{R}$ имеем $d^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^i\partial x^j}dx^idx^j+\frac{\partial f}{\partial x^i}d^2x^i$, при чем $d^2x^i$ не обновляются, они являются самостоятельными ковекторами второго порядка, дабы избежать путанницы, частный дифференциал можно обозначить, например, при помощи символа $D$), таким образом, можно легко избежать путаницы и неполноты картины у студента. Почему так никто не делает?

[Padawan]

Yuichi196883 в сообщении #1710649 писал(а):

при этом давно уже существует теория касательных пространств высшего порядка $T^pM$, которая позволяет полностью формализовать те же высшие дифференциалы (например для $f\colon M\to\mathbb{R}$ имеем $d^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^i\partial x^j}dx^idx^j+\frac{\partial f}{\partial x^i}d^2x^i$, при чем $d^2x^i$ не обновляются, они являются самостоятельными ковекторами второго порядка

Можно подробнее? Что такое $T^pM$? У меня были похожие идеи насчет $d^2f$, мне правда интересно, как формализуется второй дифференциал числовой функции на многообразии. Это элемент пространства струй (джетов) ?

-- Ср ноя 26, 2025 01:53:45 --

Yuichi196883 в сообщении #1710649 писал(а):

Почему так никто не делает?

Просветите, будем делать.

[Yuichi196883]

Касательное расслоение высшего порядка обычно вводится как расслоение струй из окрестности нуля $\mathbb{R}$ в само многообразие $M$, то-есть $T^pM = J^p_0(\mathbb{R},M)$, есть ещё вариант с многомерным пространством в основании $T^p_nM=J^p_0(\mathbb{R}^n,M)$, подробнее об этих понятиях можно почитать в работе Эресмана "C. Ehresmann Les prolongements d’une variété differentiable", в частности, $T^1$ совпадает с обычным функтором касательного расслоения. Сами эти расслоения являются векторными, базис в слое расслоения $T^pM$ задаётся (естественно, для $C^\infty$-гладких многообразий) операторами $\frac{\partial^l}{\partial x^{i_1}\dots\partial x^{i_l}}$, в сопряженном расслоении $T^{p\ast}M$ базисом будет $d^{i_1}x^{j_1}\dots d^{i_l}x^{j_l}$, $i_1+\dots+i_l = p$. Например, для случая $p=2$ будут выполняться тождества $d^2x^i(\frac{\partial}{\partial x^j}) = \delta^i_j$, $d^2x^i(\frac{\partial^2}{\partial x^j\partial x^k}) = 0$, $dx^idx^j(\frac{\partial}{\partial x^k}) = 0$, $dx^idx^j(\frac{\partial^2}{\partial x^k\partial x^l}) = \frac{1}{2}(\delta^i_k\delta^j_l+\delta^j_k\delta^i_l)$

-- 26.11.2025, 00:48 --

Сам же дифференциал функции $f\colon\mathbb{R}\to M$ задаётся как поток $s(x)=j^p_xt_{f(x)}\circ f$, где $t_{f(x)}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ — трансляция, переводящая $f(x)$ в 0.

[dgwuqtj]

Yuichi196883 в сообщении #1710649 писал(а):

Почему в современных курсах анализа на многообразиях никто не разделяет нотацию для обычного дифференциала и внешнего во избежании путаницы?

А почему обычный дифференциал не является частным случаем внешнего? Он из функции делает 1-форму.

[Yuichi196883]

Ни внешний дифференциал, ни обычный не являются частными случаями друг друга, лба они, вообще говоря, являются частными случаями дифференциальных операторов. Под дифференциалом в первом курсе подразумевают дифференцирование, его можно применять к функции несколько раз чтоб получать высшие дифференциалы, например, второй дифференциал $d^2$, который, в этом случае, не равен нулю и является симметрическим полидифферннцированием. В свою очередь внешний дифференциал это кососимметрическое полидифферннцирование. В терминологии дифференциальных форм нельзя говорить о инфинитезимальной информации более чем первого порядка, грубо говоря нам доступна только первая производная функции, так-как вторая обновляется согласно свойствам внешнего дифференциала

-- 26.11.2025, 03:58 --

Кароче говоря, если мы берем только первый порядок, то они действительно идентичны, если же мы хотим рассматривать случаи более высокого порядка, обычный дифференциал и внешний отличаются существенно

[dgwuqtj]

У меня такое ощущение, что обычно на многообразиях высшие обычные дифференциалы не рассматривают (да, есть струи, но с ними не сильно удобно работать), а просто пишут всё в локальных координатах. То есть явно выписывают частные производные нужных порядков и проверяют независимость результата от координат при необходимости. А обозначения уже устоялись, они такие и в учебниках, и в статьях, и в монографиях.

[Yuichi196883]

Просто высшие дифференциалы нужны, например, в геометрии, бывают геометрии Картана которые нельзя достаточно хорошо описать только в первом порядке, да и, например, та же связность представляет из себя геометрическую структуру второго порядка, это можно заметить, например, по закону изменения символов Кристоффеля, по этому чисто формально второй и т. д. дифференциалы нужны, да и удобная нотация уже давно разработана для их использования.

[Padawan]

Yuichi196883
А второй дифференциал отображения многообразий $f\colon M\to N$ имеет смысл?

[Padawan]

Можно записать $df\colon TM\to TN$, где $TM$ -- касательное расслоение многообразия $M$. Тогда второй дифференциал $d(df) \colon T(TM) \to T(TN) $. Остаётся понять, как эти повторные касательные расслоения связаны с джетами, и что это будет в случае числовой функции. И как это соотносится с классическим вторым дифференциалом отображения $\mathbb R^m\to \mathbb R^n$?

[Yuichi196883]

Нет особого смысла рассматривать $d(df)\colon T(TM)\to T(TN)$, ибо $T^2M\subseteq T(TM)$, для определения вторых дифференциалов и выше используется касательный функтор высшего порядка: $T^pf\colon T^pM\to T^pN$, только их ненадо путать с дифференциалом $d^p(f)(x)=j^p_x(t_{f(x)}\circ f)$, это разные понятия. Можно так же определить всё это более общим образом при помощи алгебр Вейля и функторов Вейля, или, если и этого недостаточно, использовать определение дифференциалов из EGA 4