Вероятность размещения частиц по ячейкам

[seraphimt]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, правильно ли решил задачу.
По $M$ ячейкам размещают $n$ частиц.
1)Найти вероятность $P_k(n, M)$ того, что в фиксированной ячейке находится ровно $k$ частиц.
2)Найти предел $\lim\limits_{n\to \infty}P_k(n, M_k)$, если для последовательности $M_n$ $\frac{n}{M_n} = \lambda >0$ постоянно.

1)Как я понимаю, по сути это выбор с возвращением из $m$ ячеек $n$ раз, отсюда $|\Omega| = C_{n+m+1}^{n}$
$P_k(n, m) =$ $k$ в ячейке и $n-k$ в $m-1$ ячейках = $\frac{C_{n+m-k}^{n-k}}{C_{n+m+1}^{n}}$

2)Для краткости тут $m=m_n$
$\frac{C_{n+m-k}^{n-k}}{C_{n+m+1}^{n}}= \frac{(n+m-k)! n! (m+1)!}{(n+m+1)! (n-k)!m!}= \frac{(n+m-k)! n! (m+1)}{(n+m+1)! (n-k)!} =$$\frac{n(n-1)\dots (n-k+1) (m+1)}{(n+m+1)(n+m)\dots(n+m+1-k)}$
$\frac{n}{n+m+1} = \frac{1}{\frac{n+m+1}{n}} \to \frac{1}{1+\frac{1}{\lambda}}$
Таких будет $k$ штука. Ещё будет один множитель $\frac{m+1}{n+m+1-k} \to \frac{1}{1+\lambda}$
Итого $P_k(n, m_{n}) = (\frac{1}{1+\frac{1}{\lambda}})^k \frac{1}{1+\lambda}$

[lel0lel]

seraphimt в сообщении #1710429 писал(а):

По $M$ ячейкам размещают $n$ частиц.
1)Найти вероятность $P_k(n, M)$ того, что в фиксированной ячейке находится ровно $k$ частиц.

Так это биномиальное распределение. Вероятность $k$ успехов из $n$ испытаний.

[seraphimt]

lel0lel в сообщении #1710431 писал(а):

seraphimt в сообщении #1710429 писал(а):

По $M$ ячейкам размещают $n$ частиц.
1)Найти вероятность $P_k(n, M)$ того, что в фиксированной ячейке находится ровно $k$ частиц.

Так это биномиальное распределение. Вероятность $k$ успехов из $n$ испытаний.

Действительно похоже, если взять $p = \frac{1}{M}$ и $Pk(n, M) = C^k_n(\frac{1}{M})^k(1-\frac{1}{M})^{n-k}$.
Тогда во втором пункте предел будет равен $\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$?

[lel0lel]

seraphimt в сообщении #1710509 писал(а):

Тогда во втором пункте предел будет равен $\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$?

Да, похоже, в таком пределе из биномиального должен получаться Пуассон.

[seraphimt]

lel0lelСпасибо!