Условные вероятности и "условные события"

[lel0lel]

mihaild
Да, конечно, это одно и тоже. Невнимательность моя -- "не читатель". На всякий случай, статья на русском языке:Условная_независимость

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1702486 писал(а):

Интуиция подсказывает, что это условие формализуется в виде

$$ P[(A, B)|(S_A, S_B)] = P(A|S_A) P(B|S_B) \eqno{(1)} $$

А почему не:

$$ P(A, B|S_A, S_B) = P(A|S_A, S_B) P(B|S_A, S_B) \eqno{(2)} $$

Во всяком случае, (2) - это условная независимость, а что такое (1) я не понимаю.

[Anton_Peplov]

Ура, я выполз из-под нагромождения работы, выдохнул и временно обрел способность худо-бедно соображать. Пользуясь случаем, возвращаюсь к своим задачам.

Спасибо всем ответившим. Я разобрался с понятием условной независимости. Понятие любопытное, но, если вдуматься, очень естественное. Возьмем вероятностное пространство $(\Omega, \Gamma, P)$. Зафиксируем событие $C \in \Gamma$ такое, что $P(C) \ne 0$. Для каждого $A \in \Gamma$ определим условную вероятность $P_C(A) = P(A|C)$. Тогда тройка $( \Omega, \Gamma, P_C)$ есть новое вероятностное пространство. Условная независимость событий $A, B$ относительно $C$ в вероятностном пространстве $( \Omega, \Gamma, P)$ - это в точности независимость событий $A, B$ в вероятностном пространстве $( \Omega, \Gamma, P_C)$.

Думаю, условие единственности связи равносильно одновременному выполнению четырех условий:
1) $A \perp\!\!\!\perp B | S_A S_B$
2) $A \perp\!\!\!\perp B | \overline S_A S_B$
3) $A \perp\!\!\!\perp B | S_A \overline S_B$
4) $A \perp\!\!\!\perp B | \overline S_A \overline S_B$
Обозначим эту четверку условий (*).
Смысл условий (*): как только ситуация с премиями определилась, события $A, B$ становятся независимыми. Математически точнее - ситуация с премиями имеет четыре возможных исхода, каждый из который соответствует своему вероятностному пространству: $( \Omega, \Gamma, P_{S_A S_B})$ и т.д. В каждом из этих пространств события $A, B$ независимы.

mihaild в сообщении #1702511 писал(а):

Вам нужно, видимо, что-то вроде $A \perp\!\!\!\perp B | S_A^\alpha S_B^\beta$ для $\alpha, \beta \in \{0, 1\}$.

Хм. Не уверен, что это равносильно условиям (*). Нужно учитывать, что события $A, B$ могут быть независимыми относительно $C$, но зависимыми относительно $ \overline C$. Пример есть в википедии в статье про условную независимость, я так удивился этому факту, что тщательно его проверил. Хотя, если вдуматься, ничего удивительного нет.

(Бытовой пример)

Бытовой пример, как события $A$ и $B$ могут быть условно независимы относительно $C$, но условно зависимы относительно $\overline C$. Пусть приятели Саша и Паша собираются сегодня вместе на концерт. $A$ - "Саша сегодня с кем-нибудь пообщается", $B$ - "Паша сегодня с кем-нибудь пообщается", $C$ - концерт отменен. Если концерт отменен, то Саша и Паша проводят вечер порознь, и каждый сам решает, общаться ему с кем-то или нет. Если концерт не отменен, то вероятность Саши с кем-то пообщаться зависит от того, придет ли на концерт Паша. Если придет, приятели наверняка пообщаются друг с другом, а если не придет, то еще вопрос, станет ли Саша на концерте заводить знакомства.

epros в сообщении #1702934 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1702486 писал(а):

Интуиция подсказывает, что это условие формализуется в виде

$$ P[(A, B)|(S_A, S_B)] = P(A|S_A) P(B|S_B) \eqno{(1)} $$

А почему не:

$$ P(A, B|S_A, S_B) = P(A|S_A, S_B) P(B|S_A, S_B) \eqno{(2)} $$

Во всяком случае, (2) - это условная независимость, а что такое (1) я не понимаю.

На самом деле я немного "гнал под ответ", как это называли в мои школьные годы. Все эти изыскания в трех соснах выросли из темы «Неравенство Белла», где я пытаюсь разобраться с выводом неравенства Белла в теории со скрытыми параметрами, приведенном в учебнике Львовского. Автор пропускает некоторые промежуточные выкладки. В попытке их восстановить я предположил, что Львовский формализовал условие единственности связи как уравнение (1) (в этом сообщении оно обозначено (Bell.3)). По крайней мере, если принять это уравнение, то дальнейшие выкладки сходятся, и моя слабенькая в вопросах теорвера интуиция говорила мне что-то похожее на уравнение (1).

Теперь я думаю, что условие единственности связи правильнее формализовать как (*). Я подумаю, можно ли вывести (1) из (*), а если нет, то как быть с выкладками Львовского.

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1709838 писал(а):

Хм. Не уверен, что это равносильно условиям (*).

Это же ровно те же самые условия, только записанные в одну строчку вместо четырех.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1709841 писал(а):

Это же ровно те же самые условия, только записанные в одну строчку вместо четырех.

Я или сильно туплю, или не понимаю Ваших обозначений. $S_A^0$ - это у Вас что? По аналогии "число в нулевой степени - единица" это должно быть достоверное событие.

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1709842 писал(а):

Я или сильно туплю, или не понимаю Ваших обозначений. $S_A^0$ - это у Вас что?

А, простите. Тут из булевых функций обозначение, нулевая степень - отрицание. $S_A^0 = \Omega \setminus S_A$.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1709843 писал(а):

Тут из булевых функций обозначение, нулевая степень - отрицание.

Тогда понятно. Я мало имел дело с булевыми функциями и с таким обозначением не сталкивался.