Измеримость производной Дини

[Padawan]

Пусть функция $f(x)$ измерима по Лебегу на интервале $(0,1)$. Доказать, что функция

$$ \varphi(x)=\liminf\limits_{t\to x+0}\frac{f(t)-f(x)}{t-x} $$

также измерима на $(0,1)$.

(Оффтоп)

Задача известная, пишут сам Банах это впервые доказал. Я придумал док-во буквально в две строчки.

[vicvolf]

(Оффтоп)

Заметим, что
$ \varphi(x) = \lim_{n \to \infty} \inf_{t \in (x, x + \frac{1}{n})} \frac{f(t)-f(x)}{t-x}. $
Определим
$ \varphi_n(x) = \inf_{t \in (x, x + \frac{1}{n})} \frac{f(t)-f(x)}{t-x}. $
Тогда $\varphi(x) = \lim_{n \to \infty} \varphi_n(x)$. Если $\varphi_n$ измеримы, то $\varphi$ измерима.
Покажем измеримость $\varphi_n$:
Для каждого $n$ функция
$ \varphi_n(x) = \inf_{r \in \mathbb{Q}} \left\{ \frac{f(r)-f(x)}{r-x} : x < r < x + \frac{1}{n} \right\}. $
Для фиксированного $r \in \mathbb{Q}$ функция
$ \psi_r(x) = \frac{f(r)-f(x)}{r-x} $
измерима на $(r - \frac{1}{n}, r)$, так как $f$ измерима, а знаменатель не нуль.
Следовательно, $\varphi_n(x)$ — инфимум счётного семейства измеримых функций, значит, $\varphi_n$ измерима.
Так как $\varphi_n$ измеримы, их предел $\varphi$ измерим.

[Padawan]

vicvolf в сообщении #1709703 писал(а):

Для каждого $n$ функция
$ \varphi_n(x) = \inf_{r \in \mathbb{Q}} \left\{ \frac{f(r)-f(x)}{r-x} : x < r < x + \frac{1}{n} \right\}. $

Почему инфимум по рациональным совпадает с инфимумом по всем $t\in(x, x+1/n) $?