Некоторые вопросы по интегральному исчислению

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1709335 писал(а):

Этап 2. Нахожу формулу касательной в любой точке графика функции $f(x) = x^2$
$y_\text{кас}(x_0)-y_0 = f'(x_0) \cdot (x-x_0) \Rightarrow y_\text{кас}(x_0) = f'(x_0) \cdot (x-x_0) - y_0 = f(x_0) \cdot x - (f(x_0) \cdot x_0 + y_0)$

Абракадабра какая-то. Уравнение касательной к линии $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$. Можно, конечно, обозначить $y_0=f(x_0)$.

Solaris86 в сообщении #1709343 писал(а):

аналитическое выражение для нахождение производной есть

Да??? Если Вы имеете в виду $f^{\prime}(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$, то это не аналитическое выражение. Во всяком случае, оно не более "аналитическое", чем выражение для первообразной.

Solaris86 в сообщении #1709335 писал(а):

А я же хочу узнать, как с помощью аналитического выражения в обратном порядке проделать эту последовательность действий шаг за шагом, чтобы из производной получить первообразную (при этом не пользоваться уже известными таблицами интегралов).

Вы не встречали такое выражение — "неберущийся интеграл"? Типа, например, $\int\sin x^2dx$ или $\int\frac{dx}{\sqrt{x^4+1}}$.

[Solaris86]

Combat Zone в сообщении #1709346 писал(а):

Это не тот ли самый, где в качестве свободного члена стоит в аккурат $\arcsin \frac 1 2$?

Не могу сказать, я просто предположил про ряд Тейлора.

Combat Zone в сообщении #1709346 писал(а):

... давайте с чем-то одним разберемся. С арксинусом, например. А то какой-то салат.

Согласен.

-- 15.11.2025, 18:44 --

dgwuqtj в сообщении #1709350 писал(а):

А чем тогда не устраивает вычисление первообразной через определённый интеграл, как предел интегральных сумм?

Вычисление площади как разности значений первообразной через определённый интеграл как раз-таки более или менее понятно.

[Combat Zone]

Solaris86
Слушайте Someone. Он вам написал почти все, что я еще нет.

[dgwuqtj]

Solaris86 в сообщении #1709356 писал(а):

Вычисление площади как разности значений первообразной через определённый интеграл как раз-таки более или менее понятно.

Имелось в виду наоборот, можно численно искать определённый интеграл $\int_a^b f(x)\, dx$, зная $a$, $b$ и $f$. Например, по формуле трапеций.

[Solaris86]

Someone в сообщении #1709353 писал(а):

Абракадабра какая-то. Уравнение касательной к линии $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$. Можно, конечно, обозначить $y_0=f(x_0)$.

Да, ошибся со знаки и обозначениями.

Someone в сообщении #1709353 писал(а):

Да??? Если Вы имеете в виду $f^{\prime}(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$, то это не аналитическое выражение. Во всяком случае, оно не более "аналитическое", чем выражение для первообразной.

Именно это и имею в виду. Просто подобного выражения для первообразной вообще нигде не видел, во всех учебниках как под копирку просто даётся "на веру" обозначение неопределённого и всё. Тот, кто ввёл это обозначение неопределённого в 17 веке явно не с потолка это придумал, а с какой-то целью именно так решил обозначать неопределённый интеграл. При этом с определённым интегралом всё более или менее понятно, во всех книгах приводят доказательство теоремы с формулой Ньютона-Лейбница. Если неопределённый интеграл - это просто символическая запись, которая по сути своей ничего не значит (я про знак интегрирования, производную и дифференциал аргумента), тогда так бы и писали, чтобы не было лишних вопросов.
Единственное, что мне приходит на ум по поводу такого обозначения неопределённого интеграла, так то, что оно такое, чтобы могли выполняться известные свойства:
$d\int f(x)dx = f(x)dx$ и $(\int f(x)dx)' = f(x)$
Так что, думаю, этот вопрос про обозначение неопределённого интеграла можно закрыть.
Также можно закрыть вопрос про аналитическое выражение для первообразной, поскольку, видимо, его вообще не существует и существовать не может, просто никто из форумчан не захотел писать в такой формулировке.

-- 15.11.2025, 19:10 --

Someone в сообщении #1709353 писал(а):

Вы не встречали такое выражение — "неберущийся интеграл"? Типа, например, $\int\sin x^2dx$ или $\int\frac{dx}{\sqrt{x^4+1}}$.

Встречал. Меня всегда это ставило в тупик.

-- 15.11.2025, 19:34 --

Тогда следующий вопрос - это одно непонятное свойство интеграла.
Звучит оно так:
Интеграл не зависит от символа, используемого для обозначения переменной интегрирования.
$\int f(x)dx = \int f(t)dt = \int f(z)dz$
https://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/S ... /12/05.htm
Формулировка о независимости интеграла от используемого для переменной интегрирования символа ставит в тупик, я вообще не понимаю, для чего этот факт выделен в отдельное свойство. Я вообще волен выбирать любые символы для переменных, математикf вроде не накладывает ограничений на обозначения переменных...
Ладно бы ещё речь шла о том, что $x$ - это незавиcимая переменная, $t$ - зависимая от $x$ переменная $t = g(x)$, $z$ - зависимая от y переменная $z = h(t) = h(g(x))$, тогда бы я понял, что речь идёт об инвариантности формулы интегрирования... Но в данной формулировки нет никаких уточнений про переменные, независимые они или зависимые, поэтому и не понятно, что хотят сказать эти свойством.

[Combat Zone]

Solaris86 в сообщении #1709363 писал(а):

Тогда следующий вопрос - это одно непонятное свойство интеграла.
Звучит оно так:
Интеграл не зависит от символа, используемого для обозначения переменной интегрирования.
$\int f(x)dx = \int f(t)dt = \int f(z)dz$ https://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/S ... /12/05.htm

Оно не так звучит. Читайте и цитируйте правильно. Там определенный интеграл.

Solaris86 в сообщении #1709363 писал(а):

Если неопределённый интеграл - это просто символическая запись, которая по сути своей ничего не значит (я про знак интегрирования, производную и дифференциал аргумента), тогда так бы и писали, чтобы не было лишних вопросов.

Вам повторить? Я повторю. Неопределенный интеграл - это семейство всех первообразных.
Ровно это и значит, а не "ничего".

Solaris86 в сообщении #1709363 писал(а):

Также можно закрыть вопрос про аналитическое выражение для первообразной, поскольку, видимо, его вообще не существует и существовать не может, просто никто из форумчан не захотел писать в такой формулировке.

Возможно, вы хотели задать другой вопрос. Давайте я попробую вместо вас. Возможно, вы хотели спросить, существует ли явный алгоритм вычисления первообразной. Тогда ответ - в большинстве случаев нет. Вы же получаете ответы ровно на те вопросы, которые задаете.

Обозначение инеграла такое потому, что его так обозначили. На то, чтобы оно выработалось, потребовалось несколько веков. Так что любите его в этом виде, тем более, оно удобное, если уметь готовить. Обозначения не нуждаются в объяснении, как правило. Говорят, такими крюками удобно шляпы из луж ловить, но это городская легенда.

[Solaris86]

Combat Zone в сообщении #1709374 писал(а):

Оно не так звучит. Читайте и цитируйте правильно. Там определенный интеграл.

А что меняет тот факт, какой это интеграл - неопределённый или определённый?

Combat Zone в сообщении #1709374 писал(а):

Вам повторить? Я повторю. Неопределенный интеграл - это семейство всех первообразных.
Ровно это и значит, а не "ничего".

Мы с вами о разном говорим, видимо.

Combat Zone в сообщении #1709374 писал(а):

Возможно, вы хотели задать другой вопрос. Давайте я попробую вместо вас. Возможно, вы хотели спросить, существует ли явный алгоритм вычисления первообразной. Тогда ответ - в большинстве случаев нет. Вы же получаете ответы ровно на те вопросы, которые задаете.

Значит, мы опять о разном говорим. Можете привести пример, хотя бы одного случая, где указан явный алгоритм вычисления первообразной, чтобы я понял, что вы имеете в виду?

[Combat Zone]

Solaris86 в сообщении #1709375 писал(а):

Значит, мы опять о разном говорим. Можете привести пример, хотя бы одного случая, где указан явный алгоритм вычисления первообразной ,чтобы я понял, что вы имеете в виду?

Например, известны алгоритмы вычисления интегралов от рациональных функций, от дифференциального бинома, ну и так далее. Берете учебник/задачник по анализу для первого курса, там все это есть.
Да, возможно, о разном. Вас довольно трудно понять.

Solaris86 в сообщении #1709375 писал(а):

А что меняет тот факт, какой это интеграл - неопределённый или определённый?

Всё.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1709363 писал(а):

Тогда следующий вопрос - это одно непонятное свойство интеграла.
Звучит оно так:
Интеграл не зависит от символа, используемого для обозначения переменной интегрирования.
$\int f(x)dx = \int f(t)dt = \int f(z)dz$ https://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/S%20...%20/12/05.htm

А неправду Вы пишете. Там интеграл определённый. Он представляет собой просто число, и это число, естественно, от переменной интегрирования не зависит.
Для неопределённого интеграла соответствующее свойство выглядит так: если $\int f(x)dx=F(x)+C$, то $\int f(u)du=F(u)+C$. Где функция $F$, естественно, одна и та же, просто обозначение аргумента меняется.

Solaris86 в сообщении #1709363 писал(а):

Формулировка о независимости интеграла от используемого для переменной интегрирования символа ставит в тупик, я вообще не понимаю, для чего этот факт выделен в отдельное свойство.

Это фактически база для таких методов интегрирования, как замена переменной и подведение под дифференциал. Под $u$ может скрываться какая-нибудь функция какой-нибудь переменной.
Например, если мы хотим вычислить $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, где $-1<x<1$, то мы можем подставить $x=\sin t$, $-\frac{\pi}2<t<\frac{\pi}2$, $dx=\cos t\,dt$, $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2t}=\sqrt{\cos^2 t}=\cos t$ (так как $\cos t>0$ при $-\frac{\pi}2<t<\frac{\pi}2$), и подстановка даёт $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int\frac{\cos t\,dt}{\cos t}=\int dt=t+C=\arcsin x+C$.
Или $\int\cos^3x\,dx=\int\cos^2x\cos x\,dx=\int(1-\sin^2x)d\sin x=\int(1-u^2)du=$ $u-\frac 13u^3+C=\sin x-\frac 13\sin^3x+C$, где $u=\sin x$.

Solaris86 в сообщении #1709363 писал(а):

Просто подобного выражения для первообразной вообще нигде не видел, во всех учебниках как под копирку просто даётся "на веру" обозначение неопределённого и всё.

Что это значит: обозначение даётся "на веру"? Договорились так обозначать — и обозначаем. Договоримся обозначать как-нибудь по-другому — будем обозначать по-другому. Во что тут можно "верить" или "не верить"? Неопределённый интеграл обозначает множество первообразных подынтегральной функции. В учебнике это должно быть написано. Во что Вы здесь "не верите"?
А "подобного выражения" (которое всё равно никакое не "аналитическое") для неопределённого интеграла действительно нет.
Может быть, Вы воображаете, что этот предел даёт универсальный алгоритм вычисления производных любых функций в конечном виде? Не даёт.

-- Сб ноя 15, 2025 21:34:58 --

Solaris86 в сообщении #1709363 писал(а):

Someone в сообщении #1709353

писал(а):
Вы не встречали такое выражение — "неберущийся интеграл"? Типа, например, $\int\sin x^2dx$ или $\int\frac{dx}{\sqrt{x^4+1}}$.
Встречал. Меня всегда это ставило в тупик.

Это выражение означает, что первообразная не выражается через элементарные функции. Знаете, что такое элементарные функции?

[Solaris86]

Combat Zone в сообщении #1709377 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1709375

писал(а):
А что меняет тот факт, какой это интеграл - неопределённый или определённый?
Всё.

Ок. Только вот после вашего ответа "Всё" понятней не стало.

-- 15.11.2025, 21:42 --

Someone в сообщении #1709379 писал(а):

А неправду Вы пишете. Там интеграл определённый. Он представляет собой просто число, и это число, естественно, от переменной интегрирования не зависит.
Для неопределённого интеграла соответствующее свойство выглядит так: если $\int f(x)dx=F(x)+C$, то $\int f(u)du=F(u)+C$. Где функция $F$, естественно, одна и та же, просто обозначение аргумента меняется.

Я повторюсь: я не делаю разницу в этом свойстве между неопределённый и определённым интегралами, поэтому и написал просто про интеграл. Я правда не понимаю, в чём разницам между неопределённым и определённым интегралов в контексте этого свойства. Я не о формальностях в записи, а о сути.

-- 15.11.2025, 21:45 --

Someone в сообщении #1709379 писал(а):

Это фактически база для таких методов интегрирования, как замена переменной и подведение под дифференциал. Под $u$ может скрываться какая-нибудь функция какой-нибудь переменной.
Например, если мы хотим вычислить $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, где $-1<x<1$, то мы можем подставить $x=\sin t$, $-\frac{\pi}2<t<\frac{\pi}2$, $dx=\cos t\,dt$, $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2t}=\sqrt{\cos^2 t}=\cos t$ (так как $\cos t>0$ при $-\frac{\pi}2<t<\frac{\pi}2$), и подстановка даёт $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int\frac{\cos t\,dt}{\cos t}=\int dt=t+C=\arcsin x+C$.
Или $\int\cos^3x\,dx=\int\cos^2x\cos x\,dx=\int(1-\sin^2x)d\sin x=\int(1-u^2)du=$ $u-\frac 13u^3+C=\sin x-\frac 13\sin^3x+C$, где $u=\sin x$.

Тогда речь про независимую переменную и переменную, являющуюся функцией другой переменной. Но, повторюсь, меня смутило то, что такое пояснение есть в неопределённом интеграле, а в определённом просто про разное обозначение и всё, никаких уточнений про переменную нет.

-- 15.11.2025, 21:46 --

Someone в сообщении #1709379 писал(а):

Это выражение означает, что первообразная не выражается через элементарные функции. Знаете, что такое элементарные функции?

Да, я в курсе про элементарные функции.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1709381 писал(а):

Я повторюсь: я не делаю разницу в этом свойстве между неопределённый и определённым интегралами, поэтому и написал просто про интеграл. Я правда не понимаю, в чём разницам между неопределённым и определённым интегралов в контексте этого свойства. Я не о формальностях в записи, а о сути.

Solaris86 в сообщении #1709363 писал(а):

$\int f(x)dx = \int f(t)dt = \int f(z)dz$

А эти равенства просто неверны, если $x$, $t$ и $z$ — разные переменные. По той же причине, по которой неверны равенства $\sin x=\sin t=\sin z$ для разных переменных.
А для определённого интеграла соответствующие равенства верны: $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^bf(t)dt=\int\limits_a^bf(z)dz$.

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1709335 писал(а):

адача решена, я нашёл уравнения всего множества касательных.
Теперь у меня обратная задача - найти исходную функцию, имея уравнение всего множества касательных к ней.
Я должен получить аналитическое выражение,

Это в общем случае дорога в один конец. Имея кусок мяса, сделать из него фарш (продифференцировать) очень просто, а вот обратная задача сделать из фарша мясо (проинтегрировать) может и не решиться вовсе (в смысле "аналитически").

Solaris86 в сообщении #1709335 писал(а):

А я же хочу узнать, как с помощью аналитического выражения в обратном порядке проделать эту последовательность действий шаг за шагом, чтобы из производной получить первообразную (при этом не пользоваться уже известными таблицами интегралов).

Так как вы хотите -- нельзя, потому и таблицы. И книги рецептов бывал интегральщиков, но не на все случаи. У вас есть замочная скважина и вы туда вставляете комбинации ключей ("аналитических функций") пока не подойдёт. Но может ничего так и не подойти.

[skobar]

Someone в сообщении #1709379 писал(а):

А неправду Вы пишете. Там интеграл определённый. Он представляет собой просто число, и это число, естественно, от переменной интегрирования не зависит.
Для неопределённого интеграла соответствующее свойство выглядит так: если $\int f(x)dx=F(x)+C$, то $\int f(u)du=F(u)+C$. Где функция $F$, естественно, одна и та же, просто обозначение аргумента меняется.

Как семейство функций неопределенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования.

[Евгений Машеров]

Сугубое ИМХО.
Определённый интеграл, в определённом смысле, появился раньше понятия производной. Настолько раньше, насколько понятия объёма или площади раньше понятия мгновенной скорости. И имел практическое значение, объёмы бочек задолго до Кеплера считали. Но считали либо численно (или вообще экспериментально меряли, сколько кувшинов в бочке), либо остроумными и непереносимыми на другой объект геометрическими рассуждениями. Но потом появилось дифференцирование, и возник вопрос, можно ли найти операцию, обратную к дифференцированию. Оказалось, что можно, но ответ неоднозначен, определён с точностью до константы. Поскольку при дифференцировании константа обращается в ноль, и восстановить её, зная производную от первообразной, невозможно. То есть обратная операция есть, но выдаёт не функцию, а семейство функций, отличающихся этой константой. Это назвали неопределённым интегралом, что другой объект, что определённый интеграл, но связанный через уже многократно упомянутую теорему. Ценность неопределённого интеграла в том, что можно получить выражение "с точностью до константы", и через него получить значение определённого интеграла - константа при уменьшаемом и вычитаемом одна и та же, и её значение неважно, $C-C=0$. Таким образом, ценность неопределённого интеграла в том, что если мы можем его выразить через доступные функции, то расчёт определённого сводится в вычислению значения первообразной в двух точках. К сожалению, не все интегралы выражаются через элементарные функции (теорема Лиувилля) и, хотя можно рассматривать такой интеграл, как новую фукнцию, исследовать её и затабулировать, и затем, придя к ней, просто брать значение из таблицы "специальных функций", всё равно не всё получается.
Вообще, интегрирование сложнее дифференцирования, приёмы, позволяющие вполне механически получить выражение для производной, появились уже в начале XVIII века, а алгоритм Риша придуман лишь в 1968, а реализован впервые в пакете MACSYMA в 1982. Причём алгоритм не гарантирует нахождение выражения, даже если оно есть. Может не справиться с перебором.

[Solaris86]

Someone в сообщении #1709383 писал(а):

А эти равенства просто неверны, если $x$, $t$ и $z$ — разные переменные. По той же причине, по которой неверны равенства $\sin x=\sin t=\sin z$ для разных переменных.

Тут, на мой взгляд, неоднозначный момент: если построить графики $f(x) = \sin x$, $f(t) =\sin t$ и $f(z) = \sin z$, то эти графики полностью наложатся друг на друга, то есть при одинаковых численных значениях этих разных переменных значения функции будут равны.
То есть можно сказать, что:
1. $\sin x=\sin t=\sin z$, если $x = y = t$, то есть при разных значениях разных переменных;
2. $\sin x \not=\sin t \not =\sin z$, если $x \not = y \not = t$, то есть при одинаковых значениях разных переменных.

Someone в сообщении #1709383 писал(а):

А для определённого интеграла соответствующие равенства верны: $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^bf(t)dt=\int\limits_a^bf(z)dz$.

А это как раз то, что я написал выше: одинаковые значения разных переменных.
Поэтому это всё равно не даёт понять, чем неопределённый интеграл отличается от определённого в контексте этого свойства.
Опять же, если считать, что в неопределённом интеграле переменная вообще не может принимать никаких значений (как я ранее писал, неопределённый интеграл как некая "игрушечная" (как детские игрушечные часы с нарисованным циферблатом, показывающие всегда одно и то же время) абстрактная формула для определённых нужд, в которую нельзя подставлять никаких численных значений), тогда ещё можно сказать, что это свойство независимости от переменной ему не свойственно, но, на мой взгляд, это опять же как-то притянуто за уши ради формализма. Может я и не прав, но пока что я понимаю именно так.