Система с двумя параметрами

[Twidobik]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Будьте добры, подскажите, пожалуйста.

В задаче просят найти все $a$ и $b$, при которых система имеет не менее 5 решений.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} ax^2+xy+by^2=0 \\ 9^x-3^{x+y+a}-3^{x-y+2b}+3^{a+2b}=0 \\ \end{array} \right.$$

Может быть, я чего-то не вижу, но красивого решения как будто нет, надо "в лоб".
Первое уравнение заменой $\frac{x}{y}=t$ сводится к квадратному $at^2+t+b=0$, откуда получается, что дискриминант $1-4ab\geqslant0$ и один или два корня. Отдельно, наверно, надо подумать про случаи $a=0$ и $b=0$.
А вот что делать со вторым уравнением, я не совсем понимаю. Предположим, что из замены можно выразить $x=ty$ и подставить. Получится
$3^{2ty}-3^{y(t+1)+a}-3^{y(t-1)+2b}+3^{a+2b}=0$
Можно ещё (но нужно ли) $3^y=p$
$p^{2t}-3^{a}p^{t+1}-3^{2b}p^{t-1}+3^{a+2b}=0$

Много букв, что делать непонятно...

[nnosipov]

Twidobik в сообщении #1708201 писал(а):

Много букв, что делать непонятно...

Да Вы уже почти все сделали. В общем случае значений $p$ не более двух, значений $t$ тоже не более двух, т.е. пар $(x,y)$ не более четырех. Значит, пять решений будет только в особых случаях, которые и осталось выделить.

[Twidobik]

nnosipov, спасибо большое за ответ!
Я думал над этим, но просто, увы, не могу понять. То, что $t$ принимает не более двух значений - очевидно, ведь это корни квадратного уравнения. Каждому такому $t$ соответствует пара $(y;x) $, которых может быть бесконечно много. Но почему $p=3^y$ тоже принимает не более 2 значений? Если это так, то тогда понятно, что $y$ принимает не более 4 значений (по 2 на каждое $t$).
Там, где $p=3^y$, как будто не квадратное уравнение...

[nnosipov]

Twidobik в сообщении #1708206 писал(а):

Там, где $p=3^y$, как будто не квадратное уравнение...

Да, Вы правы, я поторопился, уравнение не квадратное. Но, возможно, у него тоже не более двух корней почти всегда?

А откуда задача? Выглядит довольно искусственно.

[Rak so dna]

Twidobik оба уравнения разлагаются на множители.

[nnosipov]

Ох уж эти фокусники, составители подобных задач. Квадратные уравнения и факторизация левой части --- похоже, это основные трюки, которые нужно помнить.

[Twidobik]

nnosipov в сообщении #1708211 писал(а):

А откуда задача? Выглядит довольно искусственно.

Из старой книги Д.А. Мальцева и А.А. Мальцева "Всё для ЕГЭ 2012. Книга II". Если многие задания перекочёвывают из книги в книгу год за годом, то эту систему я увидел впервые.

Rak so dna в сообщении #1708212 писал(а):

Twidobik оба уравнения разлагаются на множители.

Когда Вы об этом сказали, разложение второго уравнения я нашёл, но догадаться об этом сразу...тяжело...

Спасибо всем большое за помощь!