Сходящиеся/расходящиеся несобственные интегралы

[denny]

Интеграл $\int\limits_{0}^{\infty}\cos(x) dx$ считается расходящимся, также как и $\int\limits_{1}^{\infty} x^{-1} dx$. Сейчас занимаюсь построением кривых в пространстве, там много интегралов от кривизны, кручения и их комбинаций.

Мне было бы важно разделить эти типы поведения. Лично я бы назвал $\int\limits_{1}^{\infty}x^{-1} dx$ сходящимся к $+ \infty $, а скажем $\int\limits_{0}^{\infty} x \cos(x) dx$ - сходящимся к $\infty $ по абсолютному значению.
$\int\limits_{0}^{\infty}\cos(x) dx$ можно назвать как-то по другому: не имеющий предела, неоднозначный и т.д.

Уверен, что можно дать и строгое определение "сходимости к $\infty $", типа для любого $L >0$ существует $x^* > 0$ такое, что $|\int\limits_{0}^{s} f(x) dx|>L$ для любого $s > x^*$

Есть ли подобные определения в анализе? Как они называются по-английски? (важно для дискуссии на Mathematica SE). Может быть не в строгих курсах, но неужели никто не делал акцент на том, что это совершенно разное поведение?

[Null]

denny в сообщении #1707041 писал(а):

$\int\limits_{0}^{\infty} x \cos(x) dx$ - сходящимся к $\infty $ по абсолютному значению.

Это не так.

denny в сообщении #1707041 писал(а):

Есть ли подобные определения в анализе?

Конечно. $\int\limits_{0}^{\infty}f(x) dx:=\lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_{0}^{M}f(x) dx$ - это просто предел, он может не существовать или быть $+\infty$ или $-\infty$. Интеграл - непрерывная функция от верхнего предела, и стремиться к $\infty$, и менять знак он не может. Но он может быть неограниченным.