Два вопроса по одной лемме.

[Eugenio]

Уважаемые участники форума! Помогите, пожалуйста, разобраться с доказательством алгебраической леммы из работы Rantzer. On the Kalman—Yakubovich—Popov lemma. Это, конечно, не учебная задача, но аппарат используется стандартный. Вот формулировка леммы и ее доказательство из статьи.

Lemma 3. Let $F$ and $G$ be complex matrices of the same size. Then
(i) $F F^{*}=G G^{*}$ if and only if there exists a matrix $U$ such that $U U^{*}=I$ and $F=G U$.
(ii) $F F^{*} \leqslant G G^{*}$ if and only if there exists a matrix $U$ such that $U U^{*} \leqslant I$ and $F=G U$.
(iii) $F G^{*}+G F^{*}=0$ if and only if there exists a matrix $U$ such that $U U^{*}=I$ and $F(I+U)=$ $G(I-U)$.
(iv) $F G^{*}+G F^{*} \geqslant 0$ if and only if there exists a matrix $U$ such that $U U^{*} \leqslant I$ and $F(I+U)=$ $G(I-U)$.

Proof of Lemma 3.

(Оффтоп)

The statements (iii) and (iv) follow from (i) and (ii) respectively, by replacement of $F$ and $G$ with $G-F$ and $F+G$.

It remains to prove (i) and (ii). Let the size of $F$ and $G$ be $k \times l$. Consider first (i) for square matrices, i.e. the case $k=l$. Assuming that $F F^{*}=G G^{*}$, introduce the polar decompositions\\
$F=H_{F} U_{F}$,\\
$G=H_{G} U_{G}$,\\
where $H_{F}$ and $H_{G}$ are hermitian and positive semidefinite, while $U_{F}$ and $U_{G}$ are unitary. Then

\[ H_{F}=\left(F F^{*}\right)^{1 / 2}=\left(G G^{*}\right)^{1 / 2}=H_{G} \]

so the unitary matrix $U=U_{G}^{*} U_{F}$ satisfies $F=G U$.

The case $k<l$ follows immediately by extending $F$ and $G$ with zero rows to square matrices.

If $k>l$, then let $F_{1}$ be a submatrix of $F$ with the same rank, but a minimal number of rows. Let $G_{1}$ be defined by the corresponding rows in $G_{1}$. Then $F_{1} F_{1}^{*}=G_{1} G_{1}^{*}$ and existence of a unitary matrix $U$ such that $F_{1}=G_{1} U$ follows as above. In fact, since all rows of $F$ and $G$ are linear combinations of the rows in $F_{1}$ and $G_{1}$, the desired equality $F=G U$ is proved as well.

To prove (ii) from (i), note that $F F^{*} \leqslant G G^{*}$, if and only if there exists an $H$ such that $[F H][F H]^{*}=$ $\left[\begin{array}{ll}G & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}G & 0\end{array}\right]^{*}$. By (i), this is equivalent to existence of $H$ and a unitary matrix

\[ \left[\begin{array}{ll}U & V \\ V^{*} & W\end{array}\right] \]

such that

\[ \left[\begin{array}{ll}F & H\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}G & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}U & V \\ V^{*} & W\end{array}\right] \]

Such matrices exist if and only if $F=G U $ and $ U^{*} U \leq I$ so (ii) is proved.

Вопрос 1. Зачем при доказательстве утверждения (i) отдельно рассматриваются случаи $k>l$ и $k<l$, причем по-разному? Я рассуждаю так. Пусть $k<l$. Тогда дополним обе матрицы нулями и получим

\[ \left[\begin{array}{l}F \\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}F^* & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}G \\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}G^* & 0\end{array}\right], %[F H][F H]^{*}=\left[\begin{array}{ll}G & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}G & 0\end{array}\right]^{*} \]

так как $F F^{*}=G G^{*}$.
Тогда

\[ \left[\begin{array}{l}F \\ 0\end{array}\right] = H_FU_F, \ \left[\begin{array}{l}G \\ 0\end{array}\right] = H_GU_G \]

и $H_F=H_G,$ далее аналогично квадратному случаю.
Если $k>l$, то

\[ \left[\begin{array}{ll}F & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}F & 0\end{array}\right]^{*}=FF^*=GG^* = \left[\begin{array}{ll}G & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}G & 0\end{array}\right]^{*} \]

и снова аналогично. Есть ли здесь ошибка?

Вопрос 2. В последнем переходе "Such matrices exist if and only if $F=G U $ and $ U^{*} U \leq I$" мне не понятно, как в части "if" получить существование большой унитарной матрицы.

Спасибо!

[mihaild]

Eugenio в сообщении #1706759 писал(а):

и снова аналогично

А как именно? Мы получим унитарную матрицу $k \times k$, а нам нужна $l \times l$.

[Eugenio]

mihaild в сообщении #1706762 писал(а):

Eugenio в сообщении #1706759 писал(а):

и снова аналогично

А как именно? Мы получим унитарную матрицу $k \times k$, а нам нужна $l \times l$.

Да, согласен, спасибо! Первый вопрос снят.

[svv]

По вопросу 2.
Я не знаю, что имел в виду Anders Rantzer в том месте доказательства. Но хочу заметить, что в одном направлении (ii) доказывается просто, даже без использования (i).

Eugenio в сообщении #1706759 писал(а):

Lemma 3. Let $F$ and $G$ be complex matrices of the same size. Then
...
(ii) $F F^{*} \leqslant G G^{*}$ if and only if there exists a matrix $U$ such that $U U^{*} \leqslant I$ and $F=G U$.

Пусть $F=GU$ и $UU^*\leqslant I$. Последнее означает, что для любого вектора-столбца $x$ (размера $\ell\times 1$)
$x^*UU^*x \leqslant x^*Ix = x^*x$

Пусть $y$ — произвольный вектор-столбец (размера $k\times 1$). Положим $x=G^*y$, тогда $x^*=y^*G$. Подставляя эти выражения в предыдущее неравенство, получим
$y^*GUU^*G^*y \leqslant y^*GG^*y,$
то есть
$y^*FF^*y \leqslant y^*GG^*y$
Но это и означает, что
$FF^* \leqslant GG^*$

Так что Вам остаётся для утверждения (ii) разобрать лишь направление "only if", которое я зачеркнул в цитате.

[Eugenio]

svv в сообщении #1706813 писал(а):

Так что Вам остаётся для утверждения (ii) разобрать лишь направление "only if", которое я зачеркнул в цитате.

Ваше доказательство действительно очень простое, спасибо!

В другую сторону рассуждение понятно, так что вопрос 2 также закрыт.