Бинарная гипотеза Гольбаха

[kukonkov]

Бинарная гипотеза Гольбаха.
Гипотеза Гольдбаха (проблема Эйлера, бинарная проблема Гольдбаха) утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
В данной работе осуществлен плавный переход, от поиска пар простых чисел, дающих в сумме (N), к поиску пар составных чисел вида 6к-1 или 6к +1, так же дающих в сумме N. И в дальнейшем обратных переход, через формулу связывающие два этих представления.
Поиск минимального количества пар составных чисел, осуществляется путем нахождения количества пар чисел, дающих в сумме (N). в которых одно слагаемое кратно 5 а другое любому простому числу, не превосходящее корня из N , далее все возможные количества, полученные всеми возможными комбинациями , суммируются, а повторы пар исключаются.

Формулы, которые потребуются для доказательства.
N mod 6 = 0

x-количество уникальных пар чисел (вида 6k + 1 или 6k – 1), которых дают в сумме N и состоят из составных чисел
h(N) -сколькими способами можно представить число N в виде суммы двух простых (вида 6k + 1 или 6k – 1).
N- Чётное натуральное число кратное 6.
π(N)-количества простых до N
P – простое число
С – составное число
при N-1=C

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - (\pi(N) - 2) = x + 0.5 - h(N)$

при N-1=P

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - (\pi(N) - 2) = x - \left( h(N) + 0.5 \right)$

Далее опишу, как эти формулы выводятся. (на примере N-1=P)

Очевидно, что количество простых (больше трех) чисел до N равняется:

$\pi(N) - 2$

Все эти простые числа распределены между, парами из простых чисел, дающих в сумме (N), и парами где одно число простое, а другое составное.
+1 – простое число которому не досталось пары.

Формула 1.

$\pi(N) - 2 = 2h(N) + 1 + Z$

Количество всех представлений из простых и составных.

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - 0,5 = h(N) + X + z$

Выразим из первой формулы чему равно Z.

$\( (\pi(N) - 2) - 2h(N) - 1 = Z \)$

Подставим во второе уравнение.

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - 0,5 = h(N) + X + \pi(N) - 2 - 2h(N) - 1$

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - \pi(N) + 2 = x - 0,5 - h(N)$

Количество чисел вида 6к-1 и 6к+1 до N.

$\( N/3 - 1 \)$

Так, как все числа вида 6к-1 и 6к+1 до N имеют остатки деления на 6 равные 1 и -1, из всех возможных остатков 1 2 3 4 5 0, лишь два из шести нам подходят. (исключение 1, которая так же имеет остаток 1)

Пример использования.


N= 4 124 322
π(N)=291341
X= 424199
h(N)=28151
при 4 124 322-1=P

$\frac{\frac{4\,124\,322}{3} - 1}{2} - (291\,341 - 2) = 424\,199 - (28\,151 + 0,5)$

Далее я приведу еще пару формул, после расскажу, как они выводятся.

$\( P_k, P_z, ..., P_o \)$

Поиск минимального количества пар составных чисел, осуществляется путем нахождения количества пар чисел, дающих в сумме (N). в которых одно слагаемое кратно 5 а другое любому простому числу, не превосходящее корня из N , далее все возможные количества, полученные всеми возможными комбинациями , суммируются, а повторы пар исключаются.

$\gcd\left(N, 5 \cup C\right) = 1$

$X_\text{min} = \sum_{\substack{P_k > 5}}^{\sqrt{N}} \left\lfloor \frac{N}{3 \times 5 \times P_k} \right\rfloor$

$ \( \gcd(N, 5 \cup C) \neq 1 \)$

$\sum_{\substack{P_k > 5 \\ P_k \leq \sqrt{N}}} \left\lfloor \frac{N}{6 \times 5 \times P_k} \right\rfloor$

$\sum_{P_k > 5}^{\sqrt{N}} \left\lfloor \frac{N}{15 P_k} \right\rfloor \approx \frac{N}{3} \times \frac{1}{5} \sum_{P_k > 5}^{\sqrt{N}} \frac{1}{P_k}$

Способ найти количество представлений числа N в виде суммы двух составных чисел, (которые имеют вид 6k-1 или 6k+1) в которых одно из слагаемых делится на P1 а другое на P2.
P1 < P2
Где P1 и P2 простые числа > 3.

Если одно число из пары делится на 5, а другое на 7, тогда следующая такая пара встретиться через 5*7*6, но это пары, в которых первое слагаемое делится на 5, а у нас еще есть пары, в которых первое слагаемое делится на 7.
тогда формула превращается в 5*7*3

$\gcd \left( N, \bigcup_{p \in P_1 \cup P_2} p \right) = 1$

$\left\lfloor \frac{N}{3 \times P_1 \times P_2} \right\rfloor$

$\( \text{НОД}(N, P_1 \cup P_2) \neq 1 \),$

$ \(\left\lfloor \frac{N}{6 \cdot P_1 \cdot P_2} \right\rfloor\)$

Например:
N = 31416
P_1=17
P_2=101

$\lfloor \frac{31416}{3 \times 17 \times 101} \right\rfloor = 6$

Проверено кодом в питоне.

Исходя из того, что сумма обратных простых бесконечна, при больших значениях N, всегда выполняется неравенство.

$\frac{1}{5} \sum_{P_k > 5}^{\sqrt{N}} \frac{1}{P_k} \approx \sum_{P_k > 5}^{\sqrt{N}} \frac{1}{5 P_k} > 1$

$\text{при } N > (1,846548 \times 10^{181})^2$

$\sum_{P_k > 5}^{\sqrt{N}} \frac{1}{P_k} \geq 5$

$\( X_{\min} = \frac{N}{3} \)$

$X \geq X_{\min}$

$\gcd(N, 5 \cup P_k) = 1$

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - \left(\pi(N) - 2\right) \geq X_{\min} + 0.5 - h(N)$

при N-1=C

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - (\pi(N) - 2) \geq \frac{N}{3} + 0.5 - h(N)$

$\left\lfloor \frac{N}{6} + 1.5 \right\rfloor + (\pi(N) - 2) \leq h(N$

при N-1=P

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - (\pi(N) - 2) \geq \frac{N}{3} - (h(N) + 0.5)$

$\left\lfloor \frac{N}{6} + 1.5 \right\rfloor + (\pi(N) - 2) \leq h(N)$

$ \( N \; \text{НОД} \ (5 \cup P_k) \neq 1 \)$

$\( X_{\text{мин}} = \frac{N}{6} \)$

при N-1=C

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - (\pi(N) - 2) > \frac{N}{6} + 0,5 - h(N)$

$(\pi(N) - 2) + 1 \leq h(N)$

при N-1=P

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - (\pi(N) - 2) > \frac{N}{6} - (h(N) + 0.5)$

$\[ (\pi(N) - 2) \leq h(N) \]$

Поскольку количество пар простых чисел, дающих в сумме N, для чисел больше (1,846548×10181) 2
) всегда больше 0, делаем вывод, что гипотеза Гольбаха для чисел кратных 6, верна.

N mod 6 =2 v 4

x-количество пар чисел (вида 6k + 1 или 6k – 1), которых дают в сумме N и состоят из составных чисел
h(N) -сколькими способами можно представить число N в виде суммы двух простых
N- Чётное натуральное число, имеющее остаток от деления на 6 равный либо 2, либо 4.
π(N)-количества простых до N
Tc - Количество составных чисел вида (6к-1 или 6к+1), не участвующих в образовании пар.
Tp - Количество простых чисел вида (6к-1 или 6к+1), не участвующих в образовании пар.
Ac- На сколько количество составных чисел вида (6к+1), превышает количество составных чисел вида (6к-1), на интервале от 1 до N.
Ap- На сколько количество составных чисел вида (6к+1), превышает количество составных чисел вида (6к-1), на интервале от 1 до N.
Упрощённая формула с погрешностью +-3.

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{4} - (\pi(N) - 2) = x + T_P - h(N)$

Пример использования.

$\( T_P \)$-Примерное количество

N Mod (6) =2

$\[ T_p = \frac{\pi(N) - 2}{2} - \frac{A_p}{2} \]$

N Mod (6) =4

$\[ T_p = \frac{\pi(N) + 2}{2} + \frac{A_p}{2} \]$

N= 315842
π(N)=27261
X= 14310
h(N)=1599
T_c= 38990

$\left( \frac{315842}{3} - 1 \right) \times \frac{3}{4} - (27261 - 2) = 14310 + 38990 - 1599$

$\left( \frac{N}{3} - 1 \right) \times \frac{3}{4} - (\pi(N) - 2) > X_{\text{min}} + T_c - h(N)$

$\( \gcd(N, 5 \cup P_k) = 1 \)$

$\( X_{\text{min}} = \frac{N}{3} \)$

$\left(\frac{N}{3} - 1\right) \times \frac{1}{4} - (\pi(N) - 2) > \frac{N}{3} + T_c - h(N)$

$\frac{N+1}{4} + T_c + (\pi(N) - 2) \leq h(N)$

$\gcd\left(N,\, 5 \cup P_k \right) \neq 1$

$X_{\min} = \frac{N}{6}$

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{4} - (\pi(N) - 2) \geq \frac{N}{6} + T_c - h(N)$

$\frac{N+1}{4} + T_c + (\pi(N) - 2) \leq h(N)$

Поскольку минимальное количество пар простых чисел, дающих в сумме N, для чисел больше ((1,846548×10181) 2, всегда больше 0, делаем вывод, что гипотеза Гольбаха верна.
Гипотеза верна для больше (1,846548×10181) ^2

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: попытки самостоятельного решения классических проблем - это сюда.

kukonkov
Даже отдельные обозначения нужно оформлять как формулы.

[mihaild]

kukonkov в сообщении #1706587 писал(а):

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - (\pi(N) - 2) = x + 0.5 - h(N)$

При $N$ вида $6k + 3$ левая часть целая, а правая нет.

[kukonkov]

mihaild в сообщении #1706613 писал(а):

kukonkov в сообщении #1706587 писал(а):

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{2} - (\pi(N) - 2) = x + 0.5 - h(N)$

При $N$ вида $6k + 3$ левая часть целая, а правая нет.

N- Чётное натуральное число кратное 6.
а в вашем примере нечётное

[mihaild]

kukonkov в сообщении #1706587 писал(а):

$\gcd\left(N, 5 \cup C\right) = 1$

Что это значит? Что такое объединение чисел?

[kukonkov]

mihaild в сообщении #1706660 писал(а):

kukonkov в сообщении #1706587 писал(а):

$\gcd\left(N, 5 \cup C\right) = 1$

Что это значит? Что такое объединение чисел?

Эта запись означает, что N и 5 и C взаимно просты

[mihaild]

kukonkov в сообщении #1706587 писал(а):

$X_\text{min} = \sum_{\substack{P_k > 5}}^{\sqrt{N}} \left\lfloor \frac{N}{3 \times 5 \times P_k} \right\rfloor$

Что такое $X_{\min}$?
Вообще, пишите более явно, какое утверждение при каких условиях доказывается. И, если можно, распишите сначала случай $N - 1$ составное (заодно и непонятные $C$ и $P$ будут не нужны). В текущем варианте за рассуждением проследить невозможно.

kukonkov в сообщении #1706689 писал(а):

Эта запись означает, что N и 5 и C взаимно просты

Это пишется как $\gcd(N, 5, C) = 1$.

[kukonkov]

mihaild в сообщении #1706690 писал(а):

kukonkov в сообщении #1706587 писал(а):

$X_\text{min} = \sum_{\substack{P_k > 5}}^{\sqrt{N}} \left\lfloor \frac{N}{3 \times 5 \times P_k} \right\rfloor$

Что такое $X_{\min}$?
$X_{\min}$ - это небольшая часть составных чисел (заданного вида) дающих в сумме N ,
то есть , количество составных чисел (заданного вида) дающих в сумме N , при больших N не меньше чем $X_{\min}$
Например
$ \( N = 504 \)$
для это N количество составных пар вида $\(6k - 1\) и \(6k + 1\)$
$x=17$
вот они
$175 + 329 = 504$
$245 + 259 = 504$
$215 + 289 = 504$
$143 + 361 = 504$
$169 + 335 = 504$
$185 + 319 = 504$
$77 + 427 = 504$
$35 + 469 = 504$
$203 + 301 = 504$
$205 + 299 = 504$
$209 + 295 = 504$
$161 + 343 = 504$
$49 + 455 = 504$
$217 + 287 = 504$
$119 + 385 = 504$
$133 + 371 = 504$
$91 + 413 = 504$
Но мы на даном этапе ищем те в которых одно составное число кратно 5 , а другое некоторому простому числу P
например Пары, где одно число делится на 5, а другое — на 7:
Пары:
(49, 455)
(175, 329)
(259, 245)
(385, 119)
(469, 35)
Пары, где одно число делится на 5, а другое — на 11
(295, 209)
(319, 185)
Пары, где одно число делится на 5, а другое — на 13:
(169, 335)
(205, 299)
Пары, где одно число делится на 5, а другое — на 17:
(289, 215)
(385, 119)
Пары, где одно число делится на 5, а другое — на 19:
(295, 209)
маленькая поправочка
$X_{\min} = \sum_{\substack{P_k > 5 \\ P_k \leq \sqrt{N}}} \left\lfloor \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot P_k} \right\rfloor - \sum_{\substack{P_z > P_k > 5 \\ P_z, P_k \leq \sqrt{N}}} \left\lfloor \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot P_k \cdot P_z}\right\rfloor + \cdots + (-1)^{\pi(\sqrt{N}) - 2} \sum_{\substack{P_o > \dots > P_z > P_k > 5 \\ P_o, P_z, P_k \leq \sqrt{N}}} \left\lfloor \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot P_k \cdot P_z \cdots P_o} \right\rfloor$

[$\(\frac{504}{3 \times 5 \times 7}\)$]+[$\(\frac{504}{3 \times 5 \times 11}\)$]+[$\(\frac{504}{3 \times 5 \times 13}\)$]+[$\(\frac{504}{3 \times 5 \times 17}\)$]+[$\(\frac{504}{3 \times 5 \times 19}\)$]
$4+3+2+2+1=12$
12 так, как одна пара повторяется
выше я привел формулу с помощью которой можно исключить повторения пар
Да формула с погрешностью 1
но эту погрешность можно компенсировать

[mihaild]

Не надо примеры, не надо "компенсации погрешностей". Надо четкие формулировки, что в какой момент доказывается (в том числе определения).
Без "небольших частей чисел".