Когомологии Галуа-Гротендика

[OlgaD]

Хочу разобраться с вещественной структурой на линейных голоморфных расслоениях. Встретилось такое понятие как когомологии Галуа-Гротендика $H^q(X;G,A).$ Не могу найти практически ничего по этому понятию. Разве что в книге самого Гротендика О некоторых вопросах гомологической алгебры. Там он рассматривает функтор похожего вида. Где-нибудь еще можно с этим понятием познакомиться?

[dgwuqtj]

Вы бы хоть контекст написали. Обычно когомологии — это правые производные функторы к чему-то (к нулевым когомологиям). Вот какие тут категория и функтор нулевых когомологий?

[OlgaD]

А вот без категорий и функторов. Встретилось это понятие без объяснения в доказательстве нужного мне утверждения. Странно, что в интернете нигде не встречается больше такого термина. Если коротко, выглядит это так: Пусть $M$ - комплексно аналитическое многообразие и $\tau:M\to M$ --- вещественная структура на нем (т.е. антиголоморфная инволюция). Пусть $\mathcal{O}_M$ - пучок ростков голоморфных комплекснозначных функций на $M,\mathcal{O}_M^*$ - пучок ростков голоморфных комплекснозначных функций, не обращающихся в нуль. На пучках $\mathcal{O}_M,\mathcal{O}_M^*$ имеется каноническая вещественная структура, которая задается правилом

$$\theta(\varphi)=\overline{\varphi\circ\tau},$$

где $\varphi$ - росток функции, а черта означает комплексное сопряжение.
Пусть $G=\{e,\tau\}$ - группа второго порядка. Далее следует описание группы когомологии Галуа-Гротендика $H^1(M;G,\mathcal{O}_M^*):$ пусть $\mathca{U}=\{U_i\}_{i\in I}$ - покрытие многообразия $M,$ причем $\tau$ действует на множество индексов $I$ таким образом, что $\tau(U_i)=U_{\tau(i)}$ для всякого $i\in I.$ В этом случае покрытие $\mathcal{U}$ называется $G$-покрытием. Оно будет называться покрытием без неподвижных точек, если $\tau$ действует на $I$ без неподвижных точек.
Пусть $\mathcal{U}$ --- $G$-покрытие без неподвижных точек. Тогда рассмотрим комплекс коцепей $C^k(\mathcal{U},\mathcal{O}^*_M),$ на нем действует инволюция $\tau$ по правилу: если $\varphi\in C^k(\mathcal{U},\mathcal{O}^*_M),\varphi=\{\varphi_{i_0...i_k}\},$ то

$$[\tau(\varphi)]_{i_0...i_k}=\theta(\varphi_{\tau(i_0)...\tau(i_k)}).$$

Положим $H^k(U;G,\mathcal{O}_M^*)=H^k(C^*(\mathcal{U},\mathcal{O}_M^*)^G).$ Тогда $H^k(M;G,\mathcal{O}_M^*)=\lim\limits_{\rightarrow}H^k(U;G,\mathcal{O}_M^*).$

Вот как-то так.

[dgwuqtj]

Это называется эквивариантными когомологиями пучков (equivariant sheaf cohomology). Есть оригинальная статья Гротендика (на французском), есть статья Stieglitz. Equivariant sheaf cohomology (где обобщение на топологические группы $G$, зато на английском). Не знаю, записано ли это в каких-то монографиях.

[OlgaD]

Спасибо за информацию. Я искала под тем названием, которое мне встретилось и ничего не нашла. Если я правильно поняла описание, то $C^*(\mathcal{U};G,\mathcal{O}^*_M)^G$ обозначает коцепи, инвариантные относительно действия группы $G.$ Но если $\mathcal{U}$ - $G$-накрытие без неподвижных точек, то почему у нас появляются коцепи, инвариантные относительно $G?$ Я, кажется, опять что-то путаю.

[dgwuqtj]

Тут речь идёт про покрытие открытыми множествами, это же вариант когомологий Чеха (Cech cohomology, про них источников много). Даже если $X = X_+ \sqcup X_-$ и $G$ переставляет компоненты связности, всегда можно взять покрытие из подмножеств $X_+$ и симметричных им подмножеств $X_-$, взять некую коцепь в $X_+$ и прибавить симметричную ей коцепь в $X_-$, получится что-то инвариантное.

[OlgaD]

Я понимаю, что это вариация на тему когомологий Чеха (с учетом действия некоторой группы $G$). Просто для меня это пока новое. А как понять определение $G$-покрытия? Если я не путаюсь, то инволюция $\tau$ переставляет элементы покрытия местами и чтобы определить ее действие на индексах $i\in I,$ нужно взять произвольное открытое подмножество $U_i$ и применить к нему $\tau.$ Тогда индекс открытого подмножества покрытия - это результат действия $\tau(i)?$

[dgwuqtj]

Открываем Гротендика, он переведён на английский (и вы в первом сообщении про это написали). Там буквально написано следующее: пусть группа $G$ действует на пространстве $X$ и дано покрытие $\mathcal U = \{ U_i \}_{i \in I}$. Покрытие называется $G$-покрытием, если дано действие $G$ на $I$ такое, что $U_{g(i)} = g(U_i)$. Это покрытие "без неподвижных точек", если действием $G$ на $I$ свободное. При этом в покрытии множества могут встречаться по несколько раз, разумеется, только с разными индексами.

[OlgaD]

[quote="dgwuqtj в сообщении #1705427"]Открываем Гротендика, он переведён на английский (и вы в первом сообщении про это написали). Кажется он и на русский переведен...

Извините, не поняла, что за "избыточное" покрытие, где некоторые множества повторяются, но с разными индексами?

[dgwuqtj]

Покрытие — это отображение из множества $I$ в множество всех открытых подмножеств $X$. Оно не обязано быть инъективным, т.е. не обязательно $U_i \neq U_j$ при $i \neq j$.

[OlgaD]

Скажите, а когомологии пространства с операторами и эквивариантные когомологии - одно и то же или нет?

[dgwuqtj]

Это вы про главу V? Да, одно и то же, просто Гротендик их так не называл.

Кстати, может, у Гротендика покрытия и без повторяющихся элементов, но это явно не написано. Так что вам надо проверить, работает ли его теорема о совпадении когомологий Чеха с обычными (через инъективные резольвенты).

[OlgaD]

Я знакома более-менее с когомологиями Чеха, де Рама, все остальное знакомо только по названиям. Поэтому мои познания в теории когомологии сильно ограничены.

[dgwuqtj]

Ну или просто проверьте, что покрытия без повторов кофинальны среди покрытий с повторами, в $G$-эквивариантом случае. Там же по ним дальше берётся прямой предел.