2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Теорема Чебышёва
Сообщение10.10.2025, 13:22 
Аватара пользователя
Как известно, если $X_1$, $X_2$, $\dots$, $X_n$ - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа $C$), то, как бы мало не было положительное число $\varepsilon$, вероятность неравенства
$$
\left|\frac{X_1+X_2+\dots +\ X_n}{n}-\frac{M\left[X_1\right]+M[X_{2}]+\dots +M[X_n]}{n}\right|<\varepsilon
$$
будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы
$$
\lim\limits_{n\to \infty}P \left(\left|\frac{X_1+X_2+\dots +\ X_n}{n}-\frac{M\left[X_1\right]+M[X_{2}]+\dots +M[X_n]}{n}\right|<\varepsilon \right)=1.
$$

Прошу уточнить, могут здесь С.В. $X_1$, $X_2$, $\dots$, $X_n$ относиться к разным испытаниям. Например, $X_1$ - количество орлов при бросании монеты, $X_2$ - количество очков при бросании игральной кости, ..., $X_n$ - число попаданий в мишень при четырех выстрелах?

 
 
 
 Re: Теорема Чебышёва
Сообщение10.10.2025, 14:47 
Аватара пользователя
Ёж в сообщении #1705279 писал(а):
могут здесь С.В. $X_1$, $X_2$, $\dots$, $X_n$ относиться к разным испытаниям.

Да, конечно.

 
 
 
 Re: Теорема Чебышёва
Сообщение10.10.2025, 15:09 
Не забыть про условие
Ёж в сообщении #1705279 писал(а):
причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа $C$),
Например если $n$-тое испытание это кидание $n$-гранного кубика, то теорема не работает.

 
 
 
 Re: Теорема Чебышёва
Сообщение10.10.2025, 20:08 
Аватара пользователя
Случайная величина — это функция. Чтобы говорить о сумме $X_1+X_2+\dotsb$ (и о независимости), случайные величины должны быть определены на одном вероятностном пространстве.

 
 
 
 Re: Теорема Чебышёва
Сообщение10.10.2025, 20:46 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #1705315 писал(а):
Чтобы говорить о сумме $X_1+X_2+\dotsb$, случайные величины должны быть определены на одном вероятностном пространстве.

Имеются две игральные кости. Одна в форме куба, другая в форме додекаэдра. Пусть $X_1$ - число очков, выпавшее на первой кости. $X_2$ - число очков, выпавшее на второй кости. Можно ли рассматривать случайную величину $X=X_1+X_2$? Если нельзя, то почему?

 
 
 
 Re: Теорема Чебышёва
Сообщение10.10.2025, 22:26 
Mihr в сообщении #1705317 писал(а):
Имеются две игральные кости. Одна в форме куба, другая в форме додекаэдра. Пусть $X_1$ - число очков, выпавшее на первой кости. $X_2$ - число очков, выпавшее на второй кости. Можно ли рассматривать случайную величину $X=X_1+X_2$? Если нельзя, то почему?

$X_1$ определенно на кубе, $X_2$ на додекаэдре, $X$ на прямом произведении куба и додекаэдра. Хотя $X_1$ можно определить на прямом произведении как число очков, выпавшее на кубе, а на додекаэдре что угодно, аналогично для $X_2$, тогда $X$ будет корректная сумма двух случайных величин на прямом произведении.

 
 
 
 Re: Теорема Чебышёва
Сообщение10.10.2025, 22:49 
Аватара пользователя
dsge в сообщении #1705319 писал(а):
$X_1$ определенно на кубе, $X_2$ на додекаэдре, $X$ на прямом произведении куба и додекаэдра.

Так. А что мешает сумму $X_1+X_2+\dotsb$ определить на прямом произведении, содержащем счётное множество сомножителей?

 
 
 
 Re: Теорема Чебышёва
Сообщение11.10.2025, 00:09 
Mihr в сообщении #1705320 писал(а):
dsge в сообщении #1705319 писал(а):
$X_1$ определенно на кубе, $X_2$ на додекаэдре, $X$ на прямом произведении куба и додекаэдра.

Так. А что мешает сумму $X_1+X_2+\dotsb$ определить на прямом произведении, содержащем счётное множество сомножителей?

Ничего. Надо только корректно определить сигма-алгебру и меру на ней. Колмогоров придумал свои основания теории вероятностей как раз для таких ситуаций.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group