2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Чем понятней тем неправильней
Сообщение30.09.2025, 13:35 
 i  Ende
Выделено из темы «Объясните понятно про мощности множеств»


B3LYP в сообщении #1703839 писал(а):
Я слышал, что множество всех натуральных чисел является счётным, а множество всех вещественных чисел - несчётным. Я это понимаю так, что любое вещественное число можно представить как десятичную дробь с бесконечным числом знаков после запятой, отсюда и бОльшая мощность множества. То же самое можно сказать про адические числа: это как бы тоже дроби, с бесконечным числом знаков после запятой, только не слева направо, а справа налево. Всё верно?


Можно еще так понимать различие между мощностью счетного множества и континуума: Счетное множество - это такое бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать натуральными числами. Мощность булеана (множества всех подмножеств) любого счётного множества является континиумом.

И в свое время я тоже задумывался над тем как это можно представить наглядно этот самый булеан и придумал такую конструкцию: Возьмем бесконечный ряд единиц и такойже ряд нулей и расположим их параллельно друг другу, чтобы единицы были напротив нулей. Первую единицу можем связать со второй единицей или с нулем, вторую единицу можем связать с третьей единицей или нулем, второй ноль также можем связать с третьей единицей или нулем и т.д.. Так вот, дробная часть двоичного вещественного числа - это как раз бесконечная линия, связывающая между собой последовательно цифры разрядов числа от первого и до бесконечности. Всего таких чисел будет булеан, т.е. $2^\infty$ и вот это и есть континиум.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение30.09.2025, 13:38 
Аватара пользователя
Altenter в сообщении #1703905 писал(а):
Мощность булеана (множества всех подмножеств) любого счётного множества является континиумом
Просто "мощность - континуум".
Altenter в сообщении #1703905 писал(а):
т.е. $2^\infty$
Вот так писать не надо.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение30.09.2025, 13:53 
mihaild в сообщении #1703907 писал(а):
Вот так писать не надо.

Понимаю, некрасиво и так писать не надо, конечно же, но один раз, когда взываешь к интуиции и наглядности - надеюсь простительно. Написать сразу $\aleph_0 или \aleph_1 $ - слишком сухо и безжизненно, а $ 2^n $ и $2^\infty$ - наглядно.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение30.09.2025, 14:09 
Аватара пользователя
Altenter в сообщении #1703912 писал(а):
Понимаю, некрасиво и так писать не надо, конечно же, но один раз, когда взываешь к интуиции и наглядности - надеюсь простительно
Нет, не простительно. Нужно сначала понять, что обычная интуиция, основанная на числах, тут не работает. И значок $\infty$ в этой области не используется, и на то есть причины.
Алефы тут совсем не при чем.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение30.09.2025, 14:31 
mihaild в сообщении #1703915 писал(а):
Altenter в сообщении #1703912 писал(а):
Понимаю, некрасиво и так писать не надо, конечно же, но один раз, когда взываешь к интуиции и наглядности - надеюсь простительно
Нет, не простительно. Нужно сначала понять, что обычная интуиция, основанная на числах, тут не работает. И значок $\infty$ в этой области не используется, и на то есть причины.
Алефы тут совсем не при чем.


Тогда глубоко извиняюсь за свое невежество. Просто мне казалось , что структура булеана примерно одна, независимо от счетности или конечности множества и было наглядно для понимания представлять это в виде множества двоичных чисел, представляя как множество всех подмножеств, мощность которого 2^n. Да, я неоднократно слышал о том, что $\infty$ это не натуральное число, но тем не менее в теории рядов и пределов его активно используют. Ну и есть же вроде натуральные числа пополненные бесконечностью и что-то в этом роде. Но как уже говорил - я очень далек от науки. Вам, как специалисту, конечно виднее.

(Оффтоп)

Топикстартер просил объяснить понятно про мощность множества, вот я и налегал на понятность, а не на правильность. С понятностью и правильностью - тут ведь как в соотношении неопределенностей Гейзенберга, чем правильней- тем непонятней, а чем понятней - тем неправильней. )))

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение30.09.2025, 15:28 
Аватара пользователя
Altenter в сообщении #1703923 писал(а):
Да, я неоднократно слышал о том, что $\infty$ это не натуральное число, но тем не менее в теории рядов и пределов его активно используют.
И вот очень важно понимать, что там речь о порядке и топологии, а не о мощностях.
Иногда булеан $X$ обозначается $2^X$. Но $\infty$ при этом использовать нельзя, этот знак не имеет никакого общепринятого смысла в таком контексте (не обозначает никакого множества).

 
 
 
 Re: Чем понятней тем неправильней
Сообщение04.10.2025, 15:33 
 !  Altenter
Предупреждение за вводящие в заблуждение ответы в разделе "Помогите решить/разобраться".

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group