2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как следует понимать закон распределения Больцмана?
Сообщение15.09.2025, 22:51 
Вариант 1:
Вероятность системы находиться в состоянии с энергией $E_i$ при термодинамическом равновесии пропорциональна $\exp\left(-\frac{E_i}{kT}\right)$

Тогда вероятность найти систему в состоянии с энергией в промежутке $[E, E+dE]$ как будто бы $dp={\exp\left(-\frac{E}{kT}\right)dE}/{\int_0^{\infty}\exp\left(-\frac{E}{kT}\right)dE}=\frac1{kT}\exp\left(-\frac{E}{kT}\right)dE$.
Но если так, тогда можно отсюда получить среднюю энергию системы при равновесии:
$\overline E=\int_0^\infty\frac{E}{kT}\exp\left(-\frac{E}{kT}\right)dE=kT$
И выходит, будто она для любой системы равна $kT$, но это ведь не так.


Вариант 2: Вероятность найти частицу, находящуюся при термодинамическом равновесии в потенциале U(x), в интервале $[x, x+dx]$ равна:
$dp={\exp\left(-\frac{U(x)}{kT}\right)dx}/{\int_0^{\infty}\exp\left(-\frac{U(x)}{kT}\right)dx}$.

Но такая интерпретация не согласуется с использованием закона распределения Больцмана при выводе формулы Планка (см. например, Сивухин, "Оптика"), где предполагается, что вероятность осциллятора найтись в состоянии с энергией $nE_0$ пропорциональна $\exp\left(-\frac{nE_0}{kT}\right)$ (что совсем никак не связано с пространственным распределением и, скорее, походит на интерпретацию 1).

 
 
 
 Re: Как следует понимать закон распределения Больцмана?
Сообщение15.09.2025, 23:24 
Аватара пользователя
fizGSE в сообщении #1702008 писал(а):
но это ведь не так.

А как?

 
 
 
 Re: Как следует понимать закон распределения Больцмана?
Сообщение15.09.2025, 23:30 
Geen в сообщении #1702010 писал(а):
А как?

Ну, если мне не изменяет память, то у свободной частицы с одной степенью свободы – $\frac 1 2 kT$, если с тремя – уже $\frac 3 2 kT$. У гармонического осциллятора действительно $kT$, но это ведь не правило, у разных систем все по-разному.

 
 
 
 Re: Как следует понимать закон распределения Больцмана?
Сообщение15.09.2025, 23:46 
fizGSE
Вы вначале говорите о микроканоническом распределение Гиббса. А потом его интегрируете по энергии, не учитывая плотность микросостояний. Потому и получается, то что получается. Совсем честно -- нужно суммировать по микростояниям, найти статсумму. В квазиклассическом приближении вы сможете перейти к интегралу, но по фазовому объёму, а не по энергии. В общем, тут лучше всего взять учебник по стат физике и почитать его. И начните лучше с распределения Максвелла, запишите распределения для частицы по проекции скорости, модулю скорости, энергии. Особенно по энергии.

 
 
 
 Re: Как следует понимать закон распределения Больцмана?
Сообщение16.09.2025, 07:08 
fizGSE: вам тут уже верно подсказывают.

Для дискретного распределения вероятность пропорциональна $\exp\left(-\frac{E}{kT}\right)$ на каждое состояние.
Для непрерывного распределения вероятность пропорциональна $\exp\left(-\frac{E}{kT}\right)$ на элемент фазового объёма $dx^i dp^i$.

И там, и там, для получения реального распределения эта "пропорциональность" должна быть отнормирована.

 
 
 
 Re: Как следует понимать закон распределения Больцмана?
Сообщение17.09.2025, 01:11 
То есть, если я правильно понимаю, более фундаментальным является распределение Гиббса $p_i\propto \exp\left(\frac {E_i}{kT}\right)$, а уже из него в некотором приближении (я догадываюсь, с переходом к классической механике и к модели идеального газа) получаются что закон распределения Максвелла, что закон распределения Больцмана (тот, что я упоминал как Вариант 2).

 
 
 
 Re: Как следует понимать закон распределения Больцмана?
Сообщение17.09.2025, 01:21 
fizGSE
Да, в общих чертах, так. Только минус потеряли.

 
 
 
 Re: Как следует понимать закон распределения Больцмана?
Сообщение17.09.2025, 07:48 
fizGSE в сообщении #1702090 писал(а):
более фундаментальным является распределение Гиббса $p_i\propto \exp\left(-\frac {E_i}{kT}\right)$, а уже из него в некотором приближении получаются что закон распределения Максвелла, что закон распределения Больцмана

В таком смысле да, однозначно.

Отдельное дело, что "распределение Гиббса" не одно. Это просто распределение для системы в контакте с термостатом. На равных правах есть и микроканоническое, а для того же фотонного гада "более фундаментальным" можно назвать распределение с постоянной температурой и химпотенциалом.
Плюс, сюда накладываются игры с количеством состояний, из которых растут распределение Ферми-Дирака и Бозе.

 
 
 
 Re: Как следует понимать закон распределения Больцмана?
Сообщение18.09.2025, 11:31 
Спасибо за ответы!
К слову, раз так, интересно, как тем же Планком была получена средняя энергия осциллятора с допустимыми энергиями $E_n=n\hbar\omega$. Сейчас-то она элементарно находится с учётом $p_i\propto \exp\left(\frac {E_i}{kT}\right)$, а тогда ведь, наверное, это распределение не было известно.

 
 
 
 Re: Как следует понимать закон распределения Больцмана?
Сообщение18.09.2025, 11:45 
fizGSE в сообщении #1702239 писал(а):
а тогда ведь, наверное, это распределение не было известно

Больцман вывел свою формулу в 1866 :facepalm:

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group