ЕГЭ 2025, тип 19. Доска и 10 различных натуральных чисел.

[Ivan 09]

Доброго времени суток.
Задача: На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых $4$ или $7$ чисел является целым числом.
а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа $563$ и $1417$?
После увиденного решения собственное кажется сумбурным. Но я хотел бы проверить свои рассуждения.
Мое решение. $563+1417=1980$
Пронумеруем неизвестные нам числа- $a_1,...,a_8$
$\frac{a_1+a_8+1980}{4}=p$ Где $p$-целое.
Отсюда вывод- все числа должны быть нечётными. Сумма любых двух чисел должна делится на $4$, а нам уже даны два нечётных числа.
Разность $(a_2+...+a_8)-(a_1+...+a_7)=a_8-a_1$ должна делится на $7$
имеем
$\begin{cases} a_8 - a_1 = 7q \\ a_8+a_1= 4p \end{cases}.$
Считаем $7q$ чётным, так как оно разность двух нечётных. перепишем $q=2t$
Складывая уравнения системы получим противоречие.
$2a_8=4p+14t$
$a_8=2p+7q$
Слева нечётное, справа чётное число.
Итог: Числа $563$ и $1417$ не могут быть записаны одновременно на доске.
Я не знал как подойти к решению и пошёл длинным путем. Интересует проверка решения на предмет ошибок.

[waxtep]

Ivan 09 в сообщении #1701861 писал(а):

Складывая уравнения системы получим противоречие.
$2a_8=4p+14t$
$a_8=2p+7q$
Слева нечётное, справа чётное число.

Здесь что-то не то, должно быть $7t$ во втором уравнении

-- 15.09.2025, 10:28 --

Вообще тут делимость на $7$, кажется, чисто для маскировки. Даны два числа, имеющих остатки $1, -1$ от деления на $4$. И ещё восемь нечетных чисел, тоже с остатками $\pm1$. Значит, ...

[lel0lel]

Разница двух приведённых чисел должна быть кратна 28, но 854 не делится на 4.

[Ivan 09]

lel0lel
Спасибо. Разобрался)

waxtep в сообщении #1701862 писал(а):

Вообще тут делимость на $7$, кажется, чисто для маскировки.

Спасибо. Имеется ввиду, что разность сразу не делится на $4$, и поэтому делимость на $7$ избыточна?

[TOTAL]

Ivan 09 в сообщении #1701873 писал(а):

Имеется ввиду, что разность сразу не делится на $4$, и поэтому делимость на $7$ избыточна?

Для чего избыточна? Приведена вся задача?

[Ivan 09]

TOTAL в сообщении #1701876 писал(а):

Для чего избыточна?

Именно для пункта а)?

TOTAL в сообщении #1701876 писал(а):

Приведена вся задача?

Есть ещё два пункта.
Я постараюсь их решить, и если возникнут вопросы, опубликую условие и попытки решения.

[waxtep]

Ivan 09 в сообщении #1701873 писал(а):

Имеется ввиду, что разность сразу не делится на $4$, и поэтому делимость на $7$ избыточна?

Или, аккуратнее можно сказать, что делимость на $7$ не позволяет сделать заключение о невозможности ситуации из п. (а), а отсутствие делимости на $4$ - позволяет

[Shadow]

Ivan 09 в сообщении #1701861 писал(а):

Известно, что среднее арифметическое любых $4$ или $7$ чисел является целым числом

это как понимать? как (любых $4$) и (любых $7$)?. Если да, то непонятно зачем.
Достаточно, что $563 \not \equiv 1417 \pmod 4$

[serg_yy]

Shadow в сообщении #1701888 писал(а):

Если да, то непонятно зачем.

Затем, что приведён только кусок условия. Полностью это задание формулируется как-то так:
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.
а)  Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?
б)  Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?
в)  Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $n^2$.

[Shadow]

serg_yy понятно, и даже так условие с семи числами имеет смысл только для подусловия в)

-- 15.09.2025, 15:17 --

(Оффтоп)

serg_yy в сообщении #1701927 писал(а):

в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $n^2$.

Минимальное $n>1$ наверное, но не будем приставать.

[wrest]

waxtep в сообщении #1701882 писал(а):

Или, аккуратнее можно сказать, что делимость на $7$ не позволяет сделать заключение о невозможности ситуации из п. (а), а отсутствие делимости на $4$ - позволяет

Ну не отсутствие делимости, а разные остатки у них (1 и 3). Т.е. если бы остатки были одинаковые (скажем, оба 1), то берем 8 оставшихся чисел такими что их остатки равны этим (т.е. 1) и всё, сумма любых 4 чисел делится на 4.

-- 15.09.2025, 16:36 --

Shadow в сообщении #1701937 писал(а):

Минимальное $n>1$ наверное, но не будем приставать.

Ессно, числа же все разные, а единица уже записана.

[waxtep]

wrest в сообщении #1701941 писал(а):

Ну не отсутствие делимости, а разные остатки у них (1 и 3).

Да, совсем аккуратно было бы написать "отсутствие делимости разности двух записанных чисел на 4"