Доказать, что функция непрерывна по определению

[Gecko]

Доказать, что функция $ f(x) = 1/x^2 $ непрерывна по определению в терминах $ \delta - \varepsilon $ в каждой точке области определения.

Я пытаюсь найти $ \delta(\varepsilon, x_0) $, где $x_0 \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Получилось $\frac{\delta |x+ x_0|}{x^2x_0^2} < \varepsilon$. Дальше не пойму, как уйти от $x$.

[mihaild]

Начнем со случая $x_0 > 0$. Интуитивно понятно (но, естественно, нужно доказать) что при $0 < \delta < x_0$, $|x - x_0| < \delta$, выполнено $|f(x) - f(x_0)| < f(x_0 - \delta) - f(x_0)$.
После этого останется подобрать $\delta$ такое чтобы $f(x_0 - \delta) - f(x_0) < \varepsilon$. Ну и что-то аналогичное с отрицательными числами провернуть.

[serg_yy]

Gecko в сообщении #1701493 писал(а):

Дальше не пойму, как уйти от $x$.

Нужно понять, что мы можем ограничиться рассмотрением лишь достаточно малых $ \delta$. Например, в случае $x_0>0$ ограничимся рассмотрением $ \delta < \frac{x_0}{2}$, тогда $x>\frac{x_0}{2}, \frac{1}{x}<\frac{2}{x_0}$. Вот и ушли от x.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Что сложнее: доказать, что функция непрерывна по определению или что функция доопределена по непрерывности?