2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение08.09.2025, 22:47 
Аватара пользователя
Известно, что:
$\forall k \in \left\lbrace 1, 2, ... N \right\rbrace, N \in \mathbb{N}: \lim\limits_{x \to x_0} f_k(x) = 0, f_k(x) \sim y_k(x) $ при $x \to x_0 $.
$\forall p \in \left\lbrace 1, 2, ... M \right\rbrace, M \in \mathbb{N}: \lim\limits_{x \to x_0} z_p(x) = 0, z_p(x) \sim g_p(x) $ при $x \to x_0 $.
Функции $ \sum\limits_{p=1}^{M} z_p(x), \sum\limits_{p=1}^{M} g_p(x)$ не обращаются в нуль в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$, $\exists \lim\limits_{x \to x_0}\frac{\sum\limits_{k=1}^{N} y_k(x)}{\sum\limits_{p=1}^{M} g_p(x)}$.
Также имеем доказанную теорему о замене функций эквивалентными при вычислении пределов: пусть функции $\varphi(x)$ и $\varphi_1(x)$ не обращаются в нуль в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$, $\psi(x) \sim \psi_1(x) $ и $\varphi(x) \sim \varphi_1(x) $ при $x \to x_0 $, существует $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{ \psi_ {1} (x)}{ \varphi_ {1} (x)}$. Тогда существует $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{ \psi(x)}{ \varphi(x)} $ и справедливо равенство: $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{ \psi(x)}{ \varphi(x)} = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{ \psi_ {1} (x)}{ \varphi_ {1} (x) } $.
Вопрос в том, справедливо ли следующее: $\exists \lim\limits_{x \to x_0}\frac{\sum\limits_{k=1}^{N} f_k(x)}{\sum\limits_{p=1}^{M} z_p(x)}$ и $$ \lim\limits_{x \to x_0}\frac{\sum\limits_{k=1}^{N} f_k(x)}{\sum\limits_{p=1}^{M} z_p(x)} = \sum\limits_{k=1}^{N} \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f_k(x)}{\sum\limits_{p=1}^{M} z_p(x)} = \sum\limits_{k=1}^{N} \lim\limits_{x \to x_0} \frac{y_k(x)}{\sum\limits_{p=1}^{M} z_p(x)} = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{\sum\limits_{k=1}^{N} y_k(x)}{\sum\limits_{p=1}^{M} z_p(x)} = $$
$$= \frac{1}{\lim\limits_{x \to x_0}\frac{\sum\limits_{p=1}^{M} z_p(x)}{\sum\limits_{k=1}^{N} y_k(x)}} = \frac{1}{\sum\limits_{p=1}^{M} \lim\limits_{x \to x_0}\frac{ z_p(x)}{\sum\limits_{k=1}^{N} y_k(x)}} = \frac{1}{\sum\limits_{p=1}^{M} \lim\limits_{x \to x_0}\frac{g_p(x)}{\sum\limits_{k=1}^{N} y_k(x)}} =\frac{1}{\lim\limits_{x \to x_0}\frac{\sum\limits_{p=1}^{M} g_p(x)}{\sum\limits_{k=1}^{N} y_k(x)}} = $$
$$= \lim\limits_{x \to x_0}\frac{\sum\limits_{k=1}^{N} y_k(x)}{\sum\limits_{p=1}^{M} g_p(x)}$$

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 00:04 
Аватара пользователя
Не всегда. Там внутри преобразований неопределенности могут получиться.

-- 09.09.2025, 00:10 --

Например, $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tg x-\sin x}{x^3}}\ne \lim\limits_{x\to 0}{\frac{x-x}{x^3}}$

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 08:16 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #1701062 писал(а):
Например, $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tg x-\sin x}{x^3}}\ne \lim\limits_{x\to 0}{\frac{x-x}{x^3}}$

А так корректно? $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tg x-\sin x}{x^3}}= \lim\limits_{x\to 0}{\frac{x-x+\tilde{o}(x)}{x^3}}$

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 11:23 
Аватара пользователя
Gecko в сообщении #1701079 писал(а):
А так корректно? $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tg x-\sin x}{x^3}}= \lim\limits_{x\to 0}{\frac{x-x+\tilde{o}(x)}{x^3}}$
Да, но теряется информация - предел того, что слева, найти можно, а справа - нет.

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 12:27 
Аватара пользователя
А я правильно понимаю, что мы можем записать $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x}{x^3} - \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3}$, только если предварительно докажем, что $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x}{x^3}$ и $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3}$ существуют и конечны?

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 16:16 
Gecko в сообщении #1701104 писал(а):
А я правильно понимаю, что мы можем записать $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x}{x^3} - \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3}$, только если предварительно докажем, что $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x}{x^3}$ и $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3}$ существуют и конечны?

Понимаете правильно. Но в данном случае эти пределы по отдельности не существуют.

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 18:39 
Аватара пользователя
Ну да.

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 19:30 
Аватара пользователя
serg_yy в сообщении #1701127 писал(а):
Понимаете правильно. Но в данном случае эти пределы по отдельности не существуют.

А как мы тогда пришли к $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tg x-\sin x}{x^3}}= \lim\limits_{x\to 0}{\frac{x-x+\tilde{o}(x)}{x^3}}$?
Я сначала думал, что так:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x}{x^3} - \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3} =   \lim\limits_{x \to 0} \frac{x + \tilde{o}}{x^3} -  \lim\limits_{x \to 0} \frac{x + \tilde{o}}{x^3} $

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 20:11 
Аватара пользователя
$\sin(x) = x + o(x)$, $\tg(x) = x + o(x)$, дальше просто подставили в дробь и использовали $o(x) \pm o(x) = o(x)$.

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 21:21 
Аватара пользователя
mihaild в сообщении #1701177 писал(а):
$\sin(x) = x + o(x)$, $\tg(x) = x + o(x)$, дальше просто подставили в дробь и использовали $o(x) \pm o(x) = o(x)$.

Но мы же не можем разложить $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{x^3}$ на $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x}{x^3} $ и $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3}$, так как эти пределы не существуют. Или сразу без разложения подставлять? Но на каком основании?

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 21:30 
Аватара пользователя
Gecko в сообщении #1701189 писал(а):
Или сразу без разложения подставлять? Но на каком основании?
Какая связь между существованием предела и подстановкой?
Формально, запись, в которой участвует $o(x)$ означает "какая-то функция $f$, такая, что $\frac{f(x)}{x} \to 0$, но какая именно - не скажем".
Разность двух таких функций это снова такая функция, что и означает $o(x) - o(x) = o(x)$.
И $\sin(x) - x$ - это тоже такая функция, что и означает $\sin(x) = x + o(x)$.

Может помочь нумеровать $o$. $\sin(x) = x + o_1(x)$ (тут уже $o_1(x)$ - совершенно конкретная функция). И $\tg(x) = x + o_2(x)$. Обозначив $o_3(x) = o_2(x) - o_1(x)$, получаем $\tg(x) - \sin(x) = o_3(x)$ - тут уже никакой асимптотики, это просто равенство функций (но при этом $o_3(x) = o(x)$.

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 21:31 
Аватара пользователя
Gecko в сообщении #1701189 писал(а):
Но мы же не можем разложить $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{x^3}$ на $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x}{x^3} $ и $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3}$,

Не можем. Но вам пишут про действия в числителе, без разложения.

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 21:47 
Аватара пользователя
Ок. Понятно. Спасибо. А мы можем написать, что функция $( \tg x - \sin x )$ эквивалентна какой-то функции? Если да, то какой?

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение09.09.2025, 22:14 
Можем. Но над этим надо поработать. Представить тангенс в другом виде. Вынести синус за скобку. Посмотрим, может дальше разберетесь.

Главное, что нужно помнить - к эквивалентостям нельзя переходить в суммах и разностях. В произведениях и частных можно.

Это хороший пример, тут, чтобы получить эквивалентную, вполне достаточно таких методов, а они элементарны (от слова элементарная математика).
В большинстве случаев в аналогичных примерах используется формула Тейлора-Маклорена. Если у вас пока начало первого курса (вдруг), то она будет позже.

 
 
 
 Re: Замена функций эквивалентными при вычислении предела
Сообщение10.09.2025, 09:54 
Gecko в сообщении #1701194 писал(а):
А мы можем написать, что функция $( \tg x - \sin x )$ эквивалентна какой-то функции? Если да, то какой?

Можем, конечно. Вообще, как уже написали, работает разложение в ряд Тейлора. В данном конкретном случае можно обойтись и без него: $ \tg x - \sin x  = \sin x \cdot \frac{1-\cos x}{\cos x} = 2 \sin x \cdot \frac{\sin^2 \frac x 2}{\cos x} \sim \frac {x^3}{2}$.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group