Геометрия и линейный порядок

[Booker48]

Ende
Выделено из темы «Что первично - материя, сознание, или ни то, ни другое?»

Tarkal в сообщении #1699404 писал(а):

Примером могут служить аксиомы геометрии, в частности: "В числе 3-х точек, лежащих на незамкнутой линии, всегда есть одна, и только одна, расположенная между двух других". И расположить их иначе не под силу ни Богу, ни Дьяволу, ни даже нам с вами. Если есть сомнения, попробуйте - хотя бы с тремя горошинами, вариантов не так уж много. Сообщите, с какой попытки это у Вас получилось?

Взял три произвольные точки внутри квадрата. Кривая Пеано вроде незамкнутая линия? Как определить, какая из точек "лежит между" двух других?

[Booker48]

Tarkal в сообщении #1699455 писал(а):

Booker48 в сообщении #1699411 писал(а):

Взял три произвольные точки внутри квадрата. Кривая Пеано вроде незамкнутая линия? Как определить, какая из точек "лежит между" двух других?

Любая линия может быть разбита на ряд произвольных отрезков, ВСЕ внутренние точки которых лежат между двух конечных и кривая Пеано здесь не исключение.

Я к тому, что вряд ли возможно сказать, какая именно из трёх горошин "лежит между" двумя другими на этой кривой (и очень хочется посмотреть на "разбиение" кривой, заполняющей квадрат, на отрезки).
И вообще, если речь о кривой, то встаёт вопрос, что значит для точки "лежать между"? В геометрических аксиоматиках порядок точек определяется для прямой.
И таки стало любопытно, можно ли построить геометрию без аксиомы порядка?

[warlock66613]

Booker48 в сообщении #1699463 писал(а):

можно ли построить геометрию без аксиомы порядка?

В сферической геометрии на геодезических нет линейного порядка.

[Tarkal]

Booker48 в сообщении #1699463 писал(а):

В геометрических аксиоматиках порядок точек определяется для прямой.

Не в "аксиоматиках", а в аксиоматике Евклида. Нанеся три произвольные точки на параболу (к примеру), вы что - не состоянии отличить крайние от той, что "между"?

Цитата:

... если речь о кривой, то встаёт вопрос, что значит для точки "лежать между"?

Это значит, что если точка "В" расположена между "А" и "С", то двигаясь по кривой от "А" к "С", вы ее неизбежно пересечете.

Цитата:

И таки стало любопытно, можно ли построить геометрию без аксиомы порядка?

Можно.

[Booker48]

Tarkal в сообщении #1709944 писал(а):

Booker48 в сообщении #1699463 писал(а):

В геометрических аксиоматиках порядок точек определяется для прямой.

Не в "аксиоматиках", а в аксиоматике Евклида. Нанеся три произвольные точки на параболу (к примеру), вы что - не состоянии отличить крайние от той, что "между"?
.

Да хоть бы и Евклида. Для параболы, к примеру, смогу. Просто упорядочив абсциссы точек. Для кривых, заданных более сложно, не уверен.

Tarkal в сообщении #1709944 писал(а):

Booker48 в сообщении #1699463 писал(а):

... если речь о кривой, то встаёт вопрос, что значит для точки "лежать между"?

Это значит, что если точка "В" расположена между "А" и "С", то двигаясь по кривой от "А" к "С", вы ее неизбежно пересечете.

Ну, это такое... А что значит: "двигаясь по кривой"? Я ж кривую Пеано приводил в качестве примера. Пусть она заполняет единичный квадрат. Какая из точек $((\frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{\sqrt{2}}{2})), ((\frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3})), ((\frac{\sqrt{5}}{5}), (\frac{\sqrt{5}}{5}))$ лежит между двумя остальными? Какая-то может и лежит, но неизвестно какая именно.

Tarkal в сообщении #1709944 писал(а):

Booker48 в сообщении #1699463 писал(а):

И таки стало любопытно, можно ли построить геометрию без аксиомы порядка?

Можно.

Хорошо вам, всё знаете. Ну, если мы из аксиоматики Евклида выкинем аксиомы порядка, то получим геометрию с какими свойствами?

[Anton_Peplov]

Booker48
Приведите определение кривой, которым Вы пользуетесь.

[tolstopuz]

Booker48 в сообщении #1710032 писал(а):

А что значит: "двигаясь по кривой"?

Кривая - это непрерывное отображение $[0,1]\to X$. Это значит, грубо говоря, что мы рисуем кривую, не отрывая карандаша от бумаги, и в каждый момент времени находимся в одной конкретной точке.

Booker48 в сообщении #1710032 писал(а):

Я ж кривую Пеано приводил в качестве примера. Пусть она заполняет единичный квадрат. Какая из точек $((\frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{\sqrt{2}}{2})), ((\frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3})), ((\frac{\sqrt{5}}{5}), (\frac{\sqrt{5}}{5}))$ лежит между двумя остальными?

Надо брать конкретную кривую Пеано и смотреть. У классической кривой Пеано есть явная формула на основе троичной записи.

Проблема в другом - любая кривая Пеано имеет самопересечения, так что мы могли несколько раз проходить через какую-то из этих точек, и в таком случае вопрос действительно не будет иметь смысла. Правда, множество самопересечений имеет меру нуль, так что почти для всех точек ответ есть.

Например, вот тут рассказывают, что кривая Гильберта (еще одна кривая Пеано) заходит по нескольку раз только в точки с координатами в виде конечных двоичных дробей, так что на ваш вопрос вполне можно ответить, надо просто сесть и посчитать.
https://math.stackexchange.com/question ... -with-0-12

[dgwuqtj]

Booker48 в сообщении #1699463 писал(а):

можно ли построить геометрию без аксиомы порядка?

Про сферическую геометрию уже упоминали, но там две прямые пересекаются по двум точкам, а не по одной. Зато есть геометрия Римана, где прямые всегда пересекаются по одной точке (и параллельных прямых нет).

[Booker48]

Anton_Peplov
Я бы не возражал, если бы инициатор темы (это не я ) дал такое определение.
Но, поскольку я приводил как пример кривую Пеано, то речь идёт о непрерывном отображении, об этом уже уважаемый tolstopuz написал.
Хотя лично мне проще думать именно в терминах построения кривой по итерациям, как бы визуально эту кривую представляя. И здесь у меня есть сомнения, не может ли получиться так, что (допустим) две разные итерации содержат три точки, то бишь эти три точки содержит и итерация с номером $i$ и итерация с номером $j$. Не могут ли эти три точки лежать на этих итеративных кривых в разном порядке?

tolstopuz в сообщении #1710034 писал(а):

У классической кривой Пеано есть явная формула на основе троичной записи.

Спасибо, попробую найти и разобраться. Я, кстати, возможно в качестве примера такой кривой представляю себе не ту, которую построил именно Пеано, а какую-то модификацию такого построения. В этом построении у любой точки "перелома" и абсцисса, и ордината вроде бы рациональны (а значит, у любой точки итеративной кривой или абсцисса, или ордината обязательно рациональны). Я, видимо, слишком мало знаком с предметом, не очень понимаю, как получить на этой кривой точки с иррациональными координатами. Только в предельном переходе как-то.

-- 20.11.2025, 21:54 --

warlock66613, dgwuqtj
Спасибо!
А что будет, если из евклидовой аксиоматики выкинуть аксиомы порядка? Зачем их добавили Паш со товарищи? Может, при наличии пятого постулата эти аксиомы лишние?

[tolstopuz]

Booker48 в сообщении #1710042 писал(а):

Не могут ли эти три точки лежать на этих итеративных кривых в разном порядке?

Это неважно. Важна только предельная кривая, а это, так сказать, черновики.

Booker48 в сообщении #1710042 писал(а):

Я, видимо, слишком мало знаком с предметом, не очень понимаю, как получить на этой кривой точки с иррациональными координатами. Только в предельном переходе как-то.

Обычный поточечный предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций.

[dgwuqtj]

Booker48 в сообщении #1710042 писал(а):

А что будет, если из евклидовой аксиоматики выкинуть аксиомы порядка?

Я не знаю, что с ней будет, даже если оставить всё как у Евклида. Потому что из того, что у него написано, чисто логически остальная геометрия не строится. И, кажется, под линиями Евклид подразумевал прямые.

Но аксиома о параллельных сама по себе с порядком не связана. Есть аффинные плоскости над любыми полями (например, $\mathbb C$), в них аксиома о параллельных выполнена, а порядка обычно нет.

[Booker48]

dgwuqtj в сообщении #1710044 писал(а):

Я не знаю, что с ней будет, даже если оставить всё как у Евклида. Потому что из того, что у него написано, чисто логически остальная геометрия не строится.

Я имею в виду любую полную аксиоматику, типа Гильберта.

[dgwuqtj]

Booker48 в сообщении #1710045 писал(а):

Я имею в виду любую полную аксиоматику, типа Гильберта.

Тогда надо выкинуть не только аксиомы порядка, но и все аксиомы, использующие отрезки или углы (про конгруэнтность и полноту). Потому что в определениях отрезков и углов порядок используется.