Род алгебраической кривой

[nnosipov]

Как быстро можно вычислить род алгебраической кривой? У меня случайно возникла кривая $R(u,v)=0$, где $R \in \mathbb{Z}[u,v]$, $\deg_u{R}=32$ и $\deg_v{R}=64$. Наверное, здесь надеяться на успех не стоит (Maple за короткое время не выдает результата). Или нет? Насколько важны здесь размеры коэффициентов (в моем примере они порядка $10^{100}$)?

[dgwuqtj]

Проективизация кривой гладкая? Тогда есть формула Римана — Гурвица...

[nnosipov]

dgwuqtj в сообщении #1698827 писал(а):

Тогда есть формула Римана — Гурвица...

Я уверен, что для вычисления рода есть много разных замечательных формул. Вопрос в том, можно ли по ним вычислить в ситуации, подобной описанной (Maple не справляется, но, возможно, там алгоритм вычисления не оптимальный).

Может быть, кривая является даже приводимой, но как об этом достоверно узнать? (Maple как-то подозрительно быстро выдает, что многочлен $R$ абсолютно неприводим.) Найти все особые точки кривой также проблематично, учитывая размеры многочлена $R$ (хотя примеры особых точек мне случайно известны). Короче, здесь все дело в размерах (в текстовом формате многочлен $R$ занимает > 150 kb).

[dgwuqtj]

Если вдруг кривая гладкая и неприводимая, то это можно проверить по модулю какого-то случайного простого числа, и так же вычислить род.

[dmd]

nnosipov
Если не секрет, может выложите куда-нибудь файл с многочленом?

[nnosipov]

Извините, были проблемы с интернетом.

dmd
Вот ссылка https://drive.google.com/file/d/1soIvkE ... sp=sharing Можно pari-gp попробовать.

dgwuqtj
Кривая не гладкая, есть хотя бы 2 особые точки, они рациональны: $(u,v) \in \{(0,3/8),(0,1)\}$. Удалось натыкать еще 4 рациональные точки $(u,v) \in \{(0,-9/16),(0,1/6),(0,3/11),(-3/2,9/4)\}$. Похоже, все дело в величине коэффициентов, ибо для редуцированной кривой по небольшим простым числам Maple находит род (получаются разные значения, вообще говоря). Но какая связь с родом исходной кривой? На этот счет есть какие-то теоремы?

[maxal]

Магма тоже не справляется. Я подозреваю, что там где-то нужна факторизация чисел, и она умирает на коэффициентах такого размера.

[dmd]

В официальное ветке pari/gp нет пока определения рода кривой, но вроде как есть в отдельном бранче. В выводе C=CrvInit(P(x,y));CrvPrint(C); должен присутсвовать род кривой. Только бранч нужно указывать nicolas-crv-pic-pari. Скачалось норм, присутсвует каталог Algcurves, в нем Algcurves.gp. Пересобралось без ошибок, но вызов \r Algcurves.gp генерит ошибку can't find symbol 'TotalDegree'. С текущей версией 2.18.1 оно не работает, работало видимо раньше с версией 2.16 в 2022г.

[Geen]

А что такое род кривой?

[nnosipov]

maxal в сообщении #1699163 писал(а):

там где-то нужна факторизация чисел

Возможно, так и есть. По крайней мере, это объясняет неудачу с большими коэффициентами и удачу с небольшими для многочленов с одинаково большим числом мономов (в нашем случае 1089).

Geen в сообщении #1699268 писал(а):

А что такое род кривой?

Это просто не объяснишь: что-то типа $(d-1)(d-2)/2-s$, где $d$ --- степень кривой (в нашем случае 64), $s$ --- "правильно" подсчитанное число особых точек кривой.