Задумал пространство, что можно сказать про его свойства?

[Combat Zone]

Germs в сообщении #1698574 писал(а):

dgwuqtj в сообщении #1698550 писал(а):

Germs в сообщении #1698530 писал(а):

У шаров есть определённый объём.

Откуда, если вы про меру ничего не говорили? Как я понимаю, шаром вы называете множество вида $\{x \mid \rho(x, x_0) < r\}$, где $r > 0$ радиус, $x_0$ центр, $\rho$ ваша полуметрика.

Объём - свойство шара. Полуметрика строится через шар, а не наоборот.

Ну да. А шар как строится? Без полуметрики? Вроде вы сказали, что у вас топология индуцирована полуметрикой, не? Отдельный вопрос, а на самом ли деле полуметрика индуцирует топологию, пока этого никто не касался.
Лучше бы вы писали последовательно и с определениями, а не словами.

-- 17.08.2025, 22:27 --

Утундрий в сообщении #1698494 писал(а):

Возможность вырожденности?

Да, в ряде источников (примерно в половине) это возможность вырожденности. В функциональном анализе точно.
Но в некоторых возможность вырожденности это псевдометрика.
На самом деле, полуметрикой что только не называется, кто во что горазд, поэтому пишут обычно определение каждый раз. Но мне книжки по функану чаще попадаются, чем по топологии.

[Утундрий]

Такое разночтение связано с недостаточно развитой палитрой уничижительные терминов. Кроме того, некоторые варианты, вроде "недометрики", отсеиваются из ложно понимаемой щепетильности.

[Germs]

Combat Zone в сообщении #1698585 писал(а):

Ну да. А шар как строится? Без полуметрики? Вроде вы сказали, что у вас топология индуцирована полуметрикой, не? Отдельный вопрос, а на самом ли деле полуметрика индуцирует топологию, пока этого никто не касался.
Лучше бы вы писали последовательно и с определениями, а не словами.

1. Семейство шаров
Пусть $ X $ — метрическое или топологическое пространство на котором мы строим модель.

- Семейство шаров задаётся как множество:

$$ \mathcal{B} = \left\{ B(x, V) \subseteq X \mid x \in X,\ V > 0 \right\} $$

где $ B(x, V) $ — шар с центром в точке $ x $ и объёмом $ V $. Объём можно понимать как меру $ \mu(B(x, V)) = V $, если задана мера $ \mu $ на $ X $.

2. Функция расстояния
- Функция расстояния $ d: X \times X \to \mathbb{R}_{\geq 0} $ определяется как минимальный объём шара, содержащего обе точки $ x, y \in X $:

$$ d(x, y) = \min \left\{ V > 0 \mid \exists z \in X : x, y \in B(z, V) \right\} $$

[Combat Zone]

Читаю с начала. То есть сперва вы строите меру. Как именно?
$X$ все-таки метрическое или топологическое или все сразу, или полуметрическое? То есть основной вопрос - слово "метрика" случайно было в этом тексте или как?

[maxmatem]

Мне не ясно зачем вводится отдельно расстояние между точками если у ТС задана метрика …..
Или это расстояние и есть метрика ?

И как я понял метрика вводится через меру ? А меру я как вижу никак не вводили ..

[Germs]

Где задана метрика? Не понял.

[maxmatem]

Germs

Цитата:

1. Семейство шаров
Пусть $ X $ — метрическое или топологическое пространство на котором мы строим модель.

Вы же написали , метрическое пространство, вот я и о метрике спрашиваю . Но в начале поста вы сказали что это не совсем метрика …без нер ва треугольника

[Germs]

maxmatem в сообщении #1698966 писал(а):

Germs

Цитата:

1. Семейство шаров
Пусть $ X $ — метрическое или топологическое пространство на котором мы строим модель.

Вы же написали , метрическое пространство, вот я и о метрике спрашиваю . Но в начале поста вы сказали что это не совсем метрика …без нер ва треугольника

Это индексное множество, а не то пространство, которое я строю. Ты не можешь построить топологическое пространство без индексного множества.

[maxmatem]

Germs

Цитата:

Ты не можешь построить топологическое пространство без индексного множества.

Так …. Давайте не тыкать …

Зачем для построения топологического или метрического пространства Вам нужно индексное множество ???

Что Вы имеете в виду под этим термином ?

[Утундрий]

Germs
Тутъ прiнято глаголiть на Вас.

[Mikhail_K]

Germs в сообщении #1698969 писал(а):

Ты не можешь построить топологическое пространство без индексного множества.

maxmatem в сообщении #1698973 писал(а):

Давайте не тыкать …

(Оффтоп)

Строго говоря, тут нет обращения к конкретному участнику. "Ты не можешь построить" - просто синоним к фразе "нельзя построить". Может быть кто-то подскажет, как называется такая речевая конструкция, но она в русском языке точно есть.

[skobar]

Germs в сообщении #1698969 писал(а):

Ты не можешь построить топологическое пространство без индексного множества

После этой фразы становится очевидным, что с определением топологического пространства ТС, увы, не знаком.

-- 19.08.2025, 21:01 --

(Mikhail_K)

Mikhail_K в сообщении #1698981 писал(а):

Строго говоря, тут нет обращения к конкретному участнику. "Ты не можешь построить" - просто синоним к фразе "нельзя построить". Может быть кто-то подскажет, как называется такая речевая конструкция, но она в русском языке точно есть.

Такая конструкция точно есть в английском, но не уверен, что она есть в русском. Как-то на этом форуме, когда писал по-русски, непроизвольно употребил кальку данного выражения с английского, и, как мне представляется, был неправильно понят (фраза была понята как личное обращение). Правда, написал "вы", а не "ты".

[maxmatem]

Mikhail_K

(Оффтоп)

Пускай так, но мне показалось , иначе .

Можно было сказать что то вроде : Я или мы не смогу ( сможем ) построить и тд

GermsВозьмите учебник по общей топологии и прочитайте пожалуйста внимательно определение топологического пространства.

Тем более , что

Индексное множество — множество, чьими элементами помечены (индексированы) элементы другого множества

И это ни как не относится к тому пространству , что вы пытаетесь построить

[Combat Zone]

Germs в сообщении #1698471 писал(а):

имеем топологическое полуметрическое пространство

Был вопрос - какая топология и какая полуметрика. У вас:

Germs в сообщении #1698471 писал(а):

Имеется соответствующая этой топологии полуметрика.

Когда так говорят, имеется обычно в виду, что топология индуцирована полуметрикой. Но полуметрика, вообще говоря, не обязана индуцировать топологию. Поэтому потребовались дополнительные уточнения. Их пока никто (и вы тоже) не касался.
Далее вы говорите, что

Germs в сообщении #1698604 писал(а):

Пусть $ X $ — метрическое или топологическое пространство...

и тут первый раз возникает слово "метрическое". Это оговорка? Если нет, то какова метрика?
В этом же месте вы указываете, что каждый шар задан центром и объемом. По вашему определению шара, центр у любого шара может быть в любой его точке, а вот объем вы определяете мерой, если задана мера на $X$. То есть все-таки изначально должна быть задана мера на $X$. И тут мы возвращаемся обратно - слова про "метрическое" пространство возникли случайно, по ошибке или умышленно? И поскольку исходно определена мера, хорошо бы все таки ввести меру. Иначе непонятно, что такое объем.
И все-таки проверьте, оно у вас топология (даже если вы все в итоге введете) или нет. А уже потом все остальное.