Задумал пространство, что можно сказать про его свойства?

[Germs]

Итак, имеем топологическое полуметрическое пространство. Полуметрическое - это означает, что соблюдаются все аксиомы метрического пространства кроме неравенства треугольника.

Имется система открытых шаров, которая бразует топологию. Имеется соответствующая этой топологии полуметрика.

Шары имеют свойства, похожие на ультраметрическое пространство, а именно:

* Два шара либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке, либо один является подмножеством другого.

* Любая точка шара может служить его центром.

Геодезические имеют свойства, похожие на цилиндрическое пространство, а именно:

* Между двумя точками можно провести бесконечное, но счётное количество геодезических, из которых одна имеет наименьшую длину

* Геодезическим можно приписать собственный угол. Разность собственных уголов геодезических изменяется от нуля до пи.

* Геодезических, имеющих минимальный, нулевой собственный угол нет. Все геодезические "обматываются" по аналогии с циллиндрическим пространством.

* Количество папаллельных геодезических с заданным углом несчётно.

Кроме того,

* Количество изометрий, переводящих шар в себя бесконечно, но счётно.

* Длина геодезической определяется минимальным объёмом шара, который включает все её точки. Длина самой короткой геодезической между двумя точками - расстояние между ними.

Какие выводы можно сделать о свойствах такого пространства? Что можно сказать о произведениии данного пространства на себя?

[Утундрий]

Germs в сообщении #1698471 писал(а):

Какие выводы можно сделать о свойствах такого пространства?

Прежде всего хотелось бы убедиться, что хотя бы одно такое пространство существует.

[Red_Herring]

Germs в сообщении #1698471 писал(а):

Какие выводы можно сделать о свойствах такого пространства?

Что придумано оно человеком, у которого слишком много свободного времени.

[dgwuqtj]

Ещё хочется узнать, как именно связаны топология и полуметрика, а также что такое геодезические в этом контексте.

[Combat Zone]

Germs в сообщении #1698471 писал(а):

Полуметрическое - это означает, что соблюдаются все аксиомы метрического пространства кроме неравенства треугольника.

Это зарезервированный термин, и означает он другое. Хотите изобретать новое - вводите свои термины, определения, проверяйте их корректность и все что еще потребуется. Хотите пользоваться известным термином - пользуйтесь именно им, а не тем, что вы ему приписали.

И раз вопросы возникли на этом этапе, все остальное, по традиции, обсуждать преждевременно.

[Утундрий]

Combat Zone в сообщении #1698493 писал(а):

Это зарезервированный термин, и означает он другое.

Возможность вырожденности?

[Germs]

Combat Zone в сообщении #1698493 писал(а):

Germs в сообщении #1698471 писал(а):

Полуметрическое - это означает, что соблюдаются все аксиомы метрического пространства кроме неравенства треугольника.

Это зарезервированный термин, и означает он другое. Хотите изобретать новое - вводите свои термины, определения, проверяйте их корректность и все что еще потребуется. Хотите пользоваться известным термином - пользуйтесь именно им, а не тем, что вы ему приписали.

И раз вопросы возникли на этом этапе, все остальное, по традиции, обсуждать преждевременно.

Вот в Википедии что написано:

Цитата:

A semimetric on X is a function d:X×X→ℝ that satisfies the first three axioms, but not necessarily the triangle inequality.

https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Semimetrics

[Anton_Peplov]

Утундрий в сообщении #1698494 писал(а):

Возможность вырожденности?

Возможность вырожденности - это псевдометрика, ЕМНИП.
Есть асимметрика еще, это когда расстояние от x до y в общем случае не такое, как от y до x.
А вот полуметрика - это как раз то, что говорит ТС. Опять же ЕМНИП.

[Combat Zone]

А полуметрика - в одних источниках так, а в других эдак. Например, в Шварце - это другое понятие.
Ну ладно, положим. Топология какая-то будет. Корявая.
Но говорить о геодезической (на какой поверхности, кстати, вне поверхности как о ней говорить) без неравенства треугольника не получится. Неравенств нет вообще, вы не сможете выбрать кратчайшее расстояние.

Germs в сообщении #1698471 писал(а):

Длина геодезической определяется минимальным объёмом шара, который включает все её точки

Длина-таки определяется длиной, а не объемом, который тоже не с чем сравнивать. (Объем метрически большего шара может оказаться объемом меньшего, в один и тот же шар можно запихать кучу кривых, разных по длине.)
В общем, хороших выводов нет. Скрестить понятие геодезической с полуметрикой в вашем смысле не выйдет.

[Germs]

Combat Zone в сообщении #1698527 писал(а):

А полуметрика - в одних источниках так, а в других эдак. Например, в Шварце - это другое понятие.

Поэтому я и пояснил, что имеется в виду, чтобы путаницы не было.

Combat Zone в сообщении #1698527 писал(а):

Но говорить о геодезической (на какой поверхности, кстати, вне поверхности как о ней говорить) без неравенства треугольника не получится. Неравенств нет вообще, вы не сможете выбрать кратчайшее расстояние.

Геодезические определяются как множества точек, а потом определяется расстояние как минимальный объём шара, вмещающий геодезическую.

Цитата:

Длина-таки определяется длиной, а не объемом, который тоже не с чем сравнивать. (Объем метрически большего шара может оказаться объемом меньшего, в один и тот же шар можно запихать кучу кривых, разных по длине.)

У шаров есть определённый объём. Если шар является подмножеством другого шара, то объём у него меньше или такой же (тогда они совпадают). То есть, объём образует полуметрику, соответствующую топологии.

[Combat Zone]

Germs в сообщении #1698530 писал(а):

Геодезические определяются как множества точек,

Произвольное? Как именно определяется?

[maxmatem]

Цитата:

Геодезические определяются как множества точек, а потом определяется расстояние как минимальный объём шара, вмещающий геодезическую.

Вы хотите сказать что это множество точек содержится в каком то шаре ?

-- Вс авг 17, 2025 19:57:59 --

Germs
Вы определили какое то пространство , , с экзотическим свойствами , но оно чисто описательное . В нем нет никакой корректности ….
Может вам стоит попробовать его нормально описать , с помощью формул ?

[dgwuqtj]

Germs в сообщении #1698530 писал(а):

У шаров есть определённый объём.

Откуда, если вы про меру ничего не говорили? Как я понимаю, шаром вы называете множество вида $\{x \mid \rho(x, x_0) < r\}$, где $r > 0$ радиус, $x_0$ центр, $\rho$ ваша полуметрика.

[Germs]

dgwuqtj в сообщении #1698550 писал(а):

Germs в сообщении #1698530 писал(а):

У шаров есть определённый объём.

Откуда, если вы про меру ничего не говорили? Как я понимаю, шаром вы называете множество вида $\{x \mid \rho(x, x_0) < r\}$, где $r > 0$ радиус, $x_0$ центр, $\rho$ ваша полуметрика.

Объём - свойство шара. Полуметрика строится через шар, а не наоборот.

[Утундрий]

Germs в сообщении #1698574 писал(а):

Объём - свойство шара.

Лондон - столица Парижа, а Париж - столица Рима, а Рим... (с)