Правильно ли решил простой логарифм

[barnashka]

Я попытался вручную найти Х, одз(1;2) ответ равен 1.333.Решал с помощью графика.Правильно ли я апроксимировал $\log_{3}5=X$

[Dedekind]

barnashka
$3^{1.333} \approx 4.33$

[Gagarin1968]

barnashka в сообщении #1697426 писал(а):

ответ равен 1.333

barnashka
Моя логарифмическая линейка показывает, что Вы ошиблись уже в 1-м знаке мантиссы.

[Евгений Машеров]

1.5 лучшее приближение. Корень квадратный из трёх 1.732, $3^{1.5}=3\cdot \sqrt{3}=5,196152423$
А точное значение, через $ \log_a b=\log_c b/ \log_c a$ равно 1,464973521

[maxmatem]

barnashkaЧем Вы аппроксимировали ?

[barnashka]

maxmatem в сообщении #1697490 писал(а):

barnashkaЧем Вы аппроксимировали ?

Я определил одз Х (1,2) и нарисовал график Y и X. На шкале Y нанес точки от 3 до 9, а на шкале Х точки от 1 до 2, так что бы они соответсвовали
друг другу. 5 на шкале Y соответствовала точка 0.333. После я просто сложил 1 с 0.333.
Спасибо за ответы

[miflin]

Евгений Машеров в сообщении #1697430 писал(а):

$ \log_a b=\log_c a/ \log_c b$

Опечатка? Должно быть
$ \log_a b=\log_c b/ \log_c a$

[Евгений Машеров]

Спасибо, поправил

[Someone]

barnashka, есть интересная книжка:
А. П. Доморяд. Математические игры и развлечения. Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1961.

На странице 54 (это § 8) описывается простой способ вычисления логарифмов, используя таблицу кубов. Можно попробовать применить этот способ к вычислению $X=\log_35$.

Пусть $X=c_0+\frac{c_1}3+\frac{c_2}{3^2}+\ldots$, где $c_k$ — это $0$, $1$ или $2$. Тогда

$$3^X=3^{c_0+\frac{c_1}3+\frac{c_2}{3^2}+\ldots}=5.$$

Так как $3^1=3<5<9=3^2$, то $c_0=1$ и

$$3^{1+\frac{c_1}3+\frac{c_2}{3^2}+\ldots}=5\Longrightarrow 3^{\frac{c_1}3+\frac{c_2}{3^2}+\ldots}=\frac 53.$$

Возводя обе части в куб, получим

$$3^{c_1+\frac{c_2}3+\ldots}=\frac{125}{27}.$$

Далее удобнее перейти к приближённым десятичным числам: $\frac{125}{27}\approx 4{,}6296296$. С этого места нужно использовать нижнюю и верхнюю границы. Нижнюю границу округляем всегда вниз, верхнюю — всегда вверх. Оставляя, например, $4$ значащие цифры, получим

$$4{,}629<3^{c_1+\frac{c_2}3+\ldots}<4{,}630,$$

откуда $c_1=1$ и $X\approx 1+\frac 13=\frac 43\approx 1{,}333$. Это совпадает с тем, что у Вас получилось.
Идём дальше. Снова делим на $3$ и возводим в куб:

$$4{,}629<3^{1+\frac{c_2}3+\frac{c_3}{3^2}+\ldots}<4{,}630\Longrightarrow 1{,}543<3^{\frac{c_2}3+\frac{c_3}{3^2}+\ldots}<1{,}544\Longrightarrow 3{,}673<3^{c_2+\frac{c_3}3+\ldots}<3.681,$$

откуда $c_2=1$ и $X\approx 1+\frac 13+\frac 19=\frac{13}9\approx1{,}444$.
Повторяем те же вычисления:

$$3{,}673<3^{1+\frac{c_3}3+\frac{c_4}{3^2}+\ldots}<3.681\Longrightarrow 1{,}224<3^{\frac{c_3}3+\frac{c_4}{3^2}+\ldots}<1{,}227\Longrightarrow 1{,}833<3^{c_3+\frac{c_4}3+\frac{c_5}{3^2}+\ldots}<1.848,$$

откуда $c_3=0$ (значение $X\approx 1{,}444$ не меняется).
Возводя в куб, получаем далее

$$6{,}158<3^{c_4+\frac{c_5}3+\ldots}<6{,}312,$$

откуда $c_4=1$ и $X\approx\frac{13}9+\frac 1{3^4}=\frac{118}{81}\approx 1{,}457$.
Следующий шаг:

$$6{,}158<3^{1+\frac{c_5}3+\ldots}<6{,}312\Longrightarrow 2{,}052<3^{\frac{c_5}3+\frac{c_6}{3^2}+\ldots}<2{,}104\Longrightarrow 8{,}640<3^{c_5+\frac{c_6}3+\ldots}<9{,}315,$$

откуда получаем разные значения $c_5$ для нижней и верхней границ: $c_{5\text{нижн.}}=1$ и $c_{5\text{верхн.}}=2$. Поэтому мы можем написать

$$\frac{118}{81}+\frac 1{3^5}<X<\frac{118}{81}+\frac 2{3^5}\Longrightarrow\frac{355}{243}<X<\frac{356}{243}\Longrightarrow 1{,}460<X<1{,}466.$$

Если нужно вычислить логарифм точнее, нужно сохранять больше значащих цифр.

P.S. Я никогда не встречал обозначения "одз(1;2)". Это что означает? Когда я был школьником, аббревиатура ОДЗ или О.Д.З. (область допустимых значений) обозначала то, что сейчас называется "область определения" (функции, уравнения или неравенства).