2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Базисные векторы: приложение к точкам?
Сообщение21.12.2008, 18:37 
Аватара пользователя
Вопрос: базисные векторы - свободные, скользящие или приложенные? Почему-то ушел в ступор...

Добавлено спустя 6 минут 34 секунды:

Типа, базис - упорядоченная тройка векторов, линейно-независимая и т.д. И в определении нет ограничений на их положение?

 
 
 
 
Сообщение21.12.2008, 18:47 
Базис вводится в векторном пространстве (оно же "линейное"), а не в аффинном ("точечном"). Там вопрос о положении не стоит.

 
 
 
 
Сообщение21.12.2008, 18:58 
Аватара пользователя
А когда мы вводим систему координат с началом в точке О и по осям направляем орты, то как?

 
 
 
 
Сообщение21.12.2008, 19:03 
Ну система координат - это точка и тройка векторов ("репер"). Точка лежит в аффинном пространстве, а векторы - в подлежащем векторном.

 
 
 
 
Сообщение21.12.2008, 19:12 
Аватара пользователя
Но орты приложены к этой точке?

 
 
 
 
Сообщение21.12.2008, 19:18 
Орты - элементы векторного пространства. Там нет точек вообще. :roll:

Добавлено спустя 1 минуту 7 секунд:

То есть давайте конкретнее сформулируем вопрос. Например, так:

Если векторы приложить к другой точке, то это будет тот же самый базис или другой?

Глупость какая-то, да?

Добавлено спустя 2 минуты 56 секунд:

Или так сформулируем вопрос: скорость материальной точки приложена к материальной точке или нет?

Ну короче когда рисуете картинку - рисуйте векторы от точки. А для понимания у вас есть на выбор два эквивалентных взгляда: либо считать, что орты - векторы свободные, либо - что они приложены к началу координат. Но тогда это не векторы, а приложенные векторы.

 
 
 
 
Сообщение21.12.2008, 19:50 
Аватара пользователя
В общем, я понял, что орты можно считать и свободными, и приложенными векторами, все равно ничего не изменится, потому что любые векторы мы раскладываем по базису в "подлежащем векторном", а он (базис) не зависит от начала координат.

 
 
 
 Re: Базисные векторы
Сообщение22.12.2008, 01:14 
ShMaxG писал(а):
Вопрос: базисные векторы - свободные, скользящие или приложенные? Почему-то ушел в ступор...

Типа, базис - упорядоченная тройка векторов, линейно-независимая и т.д. И в определении нет ограничений на их положение?


Я сам по образованию физик и буду отвечать как физик физику. Возможно то, что я скажу, будет воспринято людьми с математическим образованием в штыки.

Мне Ваш ступор вполне понятен, поскольку я сам при изучении векторного и тензорного анализа не сразу осознал необходимость четкого разделения между двумя различыми типами математических объектов --- векторными пространствами с заданным скалярным произведением (которые всегда линейные и либо евклидовы, либо псевдоевклидовы) и точечными пространствами с заданной метрикой (которые могут быть как (псевдо)евклидовыми, так и (псевдо)римановыми). Одной из причин такого нечеткого разделения являлось возможно то, что точечному (псевдо)евклидовому пространству можно поставить в соответствие векторное (псевдо)евклидово пространство, введя (4х-вектор интервала) радиус-вектор.

Базис вводится в векторных пространствах, в которых точек нет, и поэтому нет смысла в разделении векторов на свободные, скользящие или приложенные. (Что уже отметил AD.)

В точечных пространствах вводится, вообще говоря, криволинейная система координат. При ее введении каждой точке (т.е. элементу) точечного пространства ставиться в соответствии репер --- набор элементов векторного пространства такой же размерности (и сигнатуры), т.е векторы репера --- приложенные (если я правильно употребляю этот термин, который уже забыл (а, может быть, и не знал)).

ShMaxG в сообщении #169640 писал(а):
А когда мы вводим систему координат с началом в точке О и по осям направляем орты, то как?
ShMaxG в сообщении #169645 писал(а):
Но орты приложены к этой точке?
Если точечное пространство (псевдо)евклидово, то можно ввести такую систему координат у которой каждой точке соответствует один и тот же репер (если все векторы репера ортогональны друг другу и их модули равны единицам, то такая система называется декартовой). Поскольку репер один и тот же, то рисуют его для такой системы в одной точке (обычно в точке с координатами, равными нулю). (Хотя декартова система --- всего лишь частный случай криволинейной системы координат, назвать ее криволинейной язык не поворачивается, поскольку ее координатные линии --- прямые).

И про репер тоже уже писал AD. Мне несколько неловко, что я фактически повторяю его утверждения другими словами, но я решился на это в надежде на то, что это поможет Вам выйти из ступора. Правильно выйти, а не просто положив,
Цитата:
что орты можно считать и свободными, и приложенными векторами, все равно ничего не изменится, потому что любые векторы мы раскладываем по базису в "подлежащем векторном", а он (базис) не зависит от начала координат.

С такой точкой зрения можно войти в другой ступор (а то и хуже --- просто проколоться) при использовании криволинейной системы координат (например полярной или сферической).

 
 
 
 
Сообщение22.12.2008, 01:28 
Вообще-то, чтобы правильно и с пониманием записывать
уравнения прямых и плоскостей (скажем в 3-х мерном пространстве) , а также складывать вектора,вектор нужно мыслить выходящим из начала координат (0,0,0,) и заканчивающимся в точке с координатами (x,y,z), где x,y,z - любая тройка вещественных чисел.

 
 
 
 
Сообщение22.12.2008, 03:40 
Ну так базис эт вроде комбинация из максимального количества линейно независимых векторов, а вот на линейную независимость уже накладываются ограничения по положению, так на плоскости они должны быть неколлинеарны, в трехмерном пространстве некомпланарны и т.д.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group